18高中数学新教材课堂导学案（直线与圆锥曲线关系）及答案.doc

课堂导学（直线与圆锥曲线的关系）

【知识点】

1.直线与椭圆的位置关系

将直线的方程与椭圆的方程联立成方程组，消元转化为关于x或y的一元二次方程，其判别式为Δ.

①Δ＞0直线和椭圆相交直线和椭圆有两个交点(或两个公共点）；

②Δ＝0直线和椭圆相切直线和椭圆有一个切点(或一个公共点)；

③Δ＜0直线和椭圆相离直线和椭圆无公共点．

2.直线与双曲线的位置关系

将直线的方程与双曲线的方程联立成方程组，消元转化为关于x或y的一元二次方程，其判别式为Δ.

若即，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；

若即，

①Δ＞0直线和双曲线相交直线和双曲线相交，有两个交点；

②Δ＝0直线和双曲线相切直线和双曲线相切，有一个公共点；

③Δ＜0直线和双曲线相离直线和双曲线相离，无公共点．

3.直线与抛物线的位置关系

将直线的方程与抛物线的方程y2=2px（p＞0）联立成方程组，消元转化为关于x或y的一元二次方程，其判别式为Δ.

若，直线与抛物线的对称轴平行或重合，直线与抛物线相交于一点；

若

①Δ＞0直线和抛物线相交，有两个交点；

②Δ＝0直线和抛物线相切，有一个公共点；

③Δ＜0直线和抛物线相离，无公共点．

4.抛物线的焦点弦问题

已知过抛物线的焦点F的直线交抛物线于A、B两点。

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则：

①焦点弦长

②

③，其中|AF|叫做焦半径，

④焦点弦长最小值为2p。根据时，即AB垂直于x轴时，弦AB的长最短，最短值为2p。

5.相交弦长：直线直线与二元曲线交于，，

则或

6.中点弦：点差法.

【典例】

例1．（2022·江苏·高二）已知直线：与双曲线：相交于两点.

（1）求线段的中点的坐标；

（2）求线段的长.

【答案】(1)(2)

【解析】

【分析】

联立直线与双曲线的方程消元得到关于的一元二次方程，求得两根之和与两根之积，代弦长公式即可求解

【详解】

设直线与双曲线交于，两点

由

所以，

所以

即直线被双曲线截得的弦长为

例2．已知双曲线：，点.

（1）求双曲线的渐近线方程；

（2）若直线与双曲线只有一个公共点，求直线的斜率取值集合.

A．4条 B．3条 C．2条 D．1条

【答案】A

【解析】

【分析】

利用双曲线渐近线的性质，结合一元二次方程根的判别式进行求解即可.

【详解】

解：双曲线的渐近线方程为，右顶点为.

①直线与双曲线只有一个公共点；

②过点平行于渐近线时，直线与双曲线只有一个公共点；

③设过的切线方程为与双曲线联立，

可得，

由，即，解得，直线的条数为1.

综上可得，直线的条数为4.

故选：A,.

例3．已知直线l与抛物线交于A、B两点，若线段AB的中点为，求线段AB的长．

【答案】

【解析】

【分析】

首先判断直线的斜率存在，设直线为，，，联立直线与抛物线方程，消元列出韦达定理，根据，求出参数，再根据焦点弦公式计算可得；

【详解】

解：依题意显然直线的斜率存在，设直线为，，，

由，消去整理得

当时，显然不成立．

当时，，

又得，解得，

当时直线，

又焦点满足直线．

所以，

又，

．

故答案为：

【作业】

1．过抛物线SKIPIF10的焦点的直线垂直于轴交抛物线于两点，则（）

A．B．5C．SKIPIF10D．10

2.已知抛物线，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线与、两点，若线段的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为（）

A．B．

C．D．

3.设为抛物线的焦点，过且倾斜角为的直线交于,两点，则（C）

（A）（B）（C）（D）

4．（2022·河南·林州一中高二期中（文））若直线与双曲线没有公共点，则双曲线的离心率的取值范围为（???????）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】

【分析】

由直线与双曲线无公共点可得，然后即可求出的范围

【详解】

双曲线的一条渐近线为，因为直线与双曲线无公共点，

故有，即，，

所以，所以.

所以的范围为

故选：A

5．（2022·江苏·高二）已知，分别是双曲线的左、右焦点，A为一条渐近线上的一点，且，则的面积为（???????）

A． B． C．5 D．

【答案】B

【解析】

【分析】

设，根据，可得，又，即可求得的面积

【详解】

双曲线的渐近线方程，不妨设A在上，则，根据可得，且，解得，所以的面积为．

故选：B

6．（多选题）（2022·浙江浙江·高二期中）若双曲线的方程为，则下列说法正确的是（???????）

A．双曲线的离心率为 B．双曲线的焦点坐标为

C．双曲线的渐近线方程为 D．直