24高中数学新教材课堂导学案（等差与等比综合）及答案.docVIP

课堂导学

（等差数列与等比数列综合）

【知识点】

一、等差数列与等比数列的常见延伸构造

1.若是等差数列，则（）也是等差数列；

2.若，是等差数列，则（）也是等差数列；

3.若是等差数列，其前项和为，则也是等差数列；

4.若是等差数列，则（）是等比数列；

5.若是等比数列，且，则（且）是等差数列；

6.若是等比数列，则、也是等比数列.

二、等比数列与函数：已知等比数列的公比为，其前项和为.

1.当且时，是指数型函数：

（1）当且时，或且时，是递增数列；

（2）当且时，或且时，是递减数列.

注：函数（且）的单调性取决于系数及底数.

2.的函数特征：

（1）当时，记为

（2）当时，

【典例】

例1.（1）已知等比数列的首项为，公比，则（A）

（A）（B）（C）（D）

（2）（2011辽宁）若等比数列满足，则公比为（B）

A．2B．4C．8D．16

例2.一个等比数列的前项和为，则（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】当时，，则，显然与题设不符；

∴，即等比数列不是常数列，

∴，则，可得．

故选：B．

例3.（1）等比数列的前项和为，已知，，则=（C）

A． B． C． D．

（2）设为等比数列的前项和，已知，，则公比（B）

A．3 B．4 C．5 D．6

例4．（2021·南昌市豫章中学高二开学考试（文））已知数列是等差数列，公差，前项和为，则的值（）

A．等于4 B．等于2

C．等于 D．不确定，与有关

【答案】B

【解析】由数列是等差数列，得；，

所以．

故选：B．

例5．（2021·新蔡县第一高级中学高二月考）已知等差数列，的前n项和分别为，，且，则（）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】，

故选：A.

例6.（1）已知公差不为0的等差数列满足，为数列的前项和，则的值为（）

A． B． C．2 D．3

【答案】B

【解析】设公差不为0的等差数列满足，

则，整理可得．

则．

故选：B．

（2）设等比数列的前项和为，公比，且，则（????）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】当时，，不成立；

当时，，即，解得，

.

故选：A

例7．（2021·全国高二专题练习）已知等差数列{an}满足：a2＝2，Sn－Sn－3＝54(n3)，Sn＝100，则n＝（）

A．7 B．8 C．9 D．10

【答案】D

【解析】∵等差数列{an}满足：a2＝2，Sn－Sn－3＝54(n3)，

∴an＋an－1＋an－2＝54(n3)，又{an}为等差数列，

∴3an－1＝54(n≥2)，

∴an－1＝18(n≥2)，又a2＝2，Sn＝100，

∴Sn＝＝＝100.

∴n＝10，

故选：D．

例8．（多选题）已知是等差数列的前项和，且，给出下列命题：①公差；②；③；④.其中正确命题的序号是（）

A．① B．② C．③ D．④

【答案】ABD

【解析】因为，所以，，所以数列的公差，故①正确；

由，得，故②正确；

因为，所以，故，故③不正确；

由，得，故④正确.

故选：ABD.

【作业】

一、选择题

1．（2022·陕西咸阳·高二期中（文））已知等比数列的前项和为，且满足，则的值是（C）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】根据题意，当时，,,

故当时，,

数列是等比数列,

则，故,

解得,

故选.

2.已知等差数列中，，则此数列前项和等于（D）

A.B.C.D.

思路：求前30项和，联想到公式，则只需。由条件可得：，所以，所以

答案：D

3.（2021·全国高二专题练习）设是等差数列的前项和，，，已知，则的值为

A．18 B．19 C．20 D．21

【答案】（2）D

【解析】（2）由等差数列的性质可得，解得，故，

而，解得，故选：．

4．（2022·新疆·乌鲁木齐市高级中学高二期中）设正项等比数列的前n项和为，若，则公比（????）

A．2 B． C．2或 D．2或

【答案】A

【解析】由，有，即，

由等比数列的通项公式得，即，解得或，

由数列为正项等比数列，∴.

故选：A

5．若等比数列的前项和为，且，则(C)

A．4B．5C．D．

6．已知数列是公比的等比数列，则在，，，这四个数列中，是等比数列的有(C)

A．1个B．2个C．3个D．4个

7．（2