北京市第八十中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学 Word版无答案.docx

北京市第八十中学2023~2024学年高一第二学期期中考试

数学试卷

（考试时间120分钟满分150分）

提示：试卷答案请一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他试题用黑色签字笔作答．

一、选择题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

1.下列叙述中，错误的一项为（）

A.棱柱的面中，至少有两个面相互平行

B.棱柱的各个侧面都是平行四边形

C.棱柱的两底面是全等的多边形

D.棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面

2.已知，则虚部为（）

A1 B. C. D.

3.设是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确是（）

A.与方向相反 B.与的方向相同

C. D.

4.如图正方形边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是多少？（）

A.4 B.8 C.12 D.16

5.陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一，也称陀罗.图1是一种木陀螺，可近似地看作是一个圆锥和一个圆柱的组合体，其直观图如图2所示，其中分别是上?下底面圆的圆心，且，底面圆的半径为2，则该陀螺的体积是（）

A. B. C. D.

6.设是两个不同的平面，是两条不同的直线，下列命题正确的是（）

A若，，则

B.若，则内的任何直线都与平行

C.若，，则

D.若，，则

7.在中，，则是（）

A.等边三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰直角三角形

8.复数满足，则的范围是（）

A. B. C. D.

9.已知,是平面内两个非零向量，那么“∥”是“存在，使得”的（）

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

10.已知点P在棱长为2的正方体表面运动，且，则线段AP的长的取值范围是（）

A. B. C. D.

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．

11.若复数z在复平面内对应的点位于第二象限，且，则z等于______．（写出一个即可）

12.如图，在正方体中，直线与平面所成角的正切值为______.

13.已知向量，，若，则___________.

14.在中，a，b，c分别是内角A，B，C所对的边．若，则___________．

15.定义运算，则符合条件的复数_______．

16.如图，在正四棱柱中，底面是正方形，且，，经过顶点A和各作一个平面与平面平行，前者与平面交于，后者与平面交于，则异面直线与所成角的余弦值为______.

三、解答题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．

17.在中，内角的对边分别是，若，．

（1）求；

（2）若，点D为边BC上一点，且，求的面积．

18.如图，六棱锥的底面是边长为1的正六边形，平面，.

（1）求证：直线平面；

（2）求证：直线平面；

（3）求直线与平面所的成角.

19.如图，在长方体中，，分别是线段，的中点.

（1）证明：平面；

（2）若，直线与所成角的余弦值是，求四面体的体积.

20.从①，②，③这三个条件中选一个补充在下面的问题中，使问题中的三角形存在，并完成第（1）、（2）问．

问题：在中，它的内角的对边分别为，______，且，．

（1）求出的值；

（2）求的面积．

注：如果选择多个条件解答，按第一个解答计分．

21.我们学过二维的平面向量，其坐标为，那么对于维向量，其坐标为.设维向量的所有向量组成集合.当时，称为的“特征向量”，如的“特征向量”有，，，.设和为的“特征向量”，定义.

（1）若，，且，，计算，的值；

（2）设且中向量均为的“特征向量”，且满足：，，当时，为奇数；当时，为偶数.求集合中元素个数的最大值；

（3）设，且中向量均为的“特征向量”，且满足：，，且时，.写出一个集合，使其元素最多，并说明理由.