专题1.8一线三等角构造全等模型专练（重难点培优）-【讲练课堂】2022-2023学年八年级数学上册尖子生同步培优题典（解析版）【苏科版】.pdf

【讲练课堂】2022-2023学年八年级数学上册尖子生同步培优题典【苏科版】

专题1.8一线三等角构造全等模型大题专练（重难点培优）

【典例剖析】

【例1】已知：在△ABC中，AB＝AC，直线l过点A．

（1）如图1，∠BAC＝90°，分别过点B，C作直线l的垂线段BD，CE，垂足分别为D，E．

①依题意补全图1；

②用等式表示线段DE，BD，CE之间的数量关系，并证明．

（2）如图2，当∠BAC≠90°时，设∠BAC＝α（0°＜α＜180°），作∠CEA＝∠BDA＝α，点D，E在

直线l上，直接用等式表示线段DE，BD，CE之间的数量关系为DE＝BD+CE．

【分析】（1）①由题意画出图形即可；

②证明△CEA≌△ADB（AAS），根据全等三角形的性质得到AD＝CE，BD＝AE，结合图形证明结论；

（2）根据三角形的外角性质得到∠ABD＝∠CAE，证明△ABD≌△CAE，根据全等三角形的性质解

答．

【解析】（1）①依题意补全图形如图1所示．

②用等式表示DE，BD，CE之间的数量关系为DE＝BD+CE．

证明：∵CE⊥l，BD⊥l，

∴∠CEA＝∠ADB＝90°．

∴∠ECA+∠CAE＝90°．

∵∠BAC＝90°，直线l过点A，

∴∠CAE+∠BAD＝180°﹣∠BAC＝90°．

∴∠ECA＝∠BAD．

又∵AC＝AB，

∴△CEA≌△ADB（AAS），

∴CE＝AD，AE＝BD．

∴DE＝AE+AD＝BD+CE．

（2）用等式表示DE，BD，CE之间的数量关系为DE＝BD+CE，

理由如下：∵∠BAE是△ABD的一个外角，

∴∠BAE＝∠ADB+∠ABD，

∵∠BDA＝∠BAC，

∴∠ABD＝∠CAE，

在△ABD和△CAE中，

，

∴△ABD≌△CAE（AAS），

∴AD＝CE，BD＝AE，

∴DE＝AD+AE＝BD+CE．

故答案为：DE＝BD+CE．

【变式1.1】．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC边上，点E在AC边上，连接AD，DE．已知∠1＝∠

2，AD＝DE．

（1）求证：△ABD≌△DCE；

（2）若BD＝3，CD＝5，求AE的长．

【分析】（1）根据AAS可证明△ABD≌△DCE；

（2）得出AB＝DC＝5，CE＝BD＝3，求出AC＝5，则AE可求出．

【解答】（1）证明：∵AB＝AC，

∴∠B＝∠C，

在△ABD与△DCE中，

，

∴△ABD≌△DCE（AAS）；

（2）解：∵△ABD≌△DCE，

∴AB＝DC＝5，CE＝BD＝3，

∵AC＝AB，

∴AC＝5，

∴AE＝AB﹣EC＝5﹣3＝2．

【变式1.2】在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于

E．

（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，

求证：①△ADC≌△CEB；

②DE＝AD+BE；

（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成

立，说明理由．

【分析】（1）直角三角形中斜边对应相等，即可证明全等，再由线段对应相等，得出②中结论；

（2）由图可知，△ADC与△CEB仍全等，但线段的关系已发生改变．

【解答】（1）证明：①∵∠ACD+∠BCE＝90°∠DAC+∠ACD＝90°，

∴∠DAC＝∠BCE．

又AC＝BC，∠ADC＝∠BEC＝90°，

∴△ADC≌△CEB．

②∵△ADC≌△CEB，

∴CD＝BE，AD＝CE．

∴DE＝CE+CD＝AD+BE．

（2）△ADC≌△CEB成立，DE＝AD+BE．不成立，此时应有DE＝AD﹣BE．

证明：∵∠ACD+∠BCE＝90°∠DAC+∠ACD＝90°，