大招28凹凸翻转(含答案解析）.pdf

28

大招凹凸反转

1.凹函数、凸函数的几何特征

2.凹凸反转

很多时候，我们需要证明（），但不代表就要证明（），因为大多数情况下，

fx0fxmin0f′

（）的零点是解不出来的当然，导函数的零点如果解不出来，可以用设隐零点的方法，但

x.

是隐零点也不是万能的方法，如果隐零点法不行可尝试用凹凸反转如要证明（），可

.fx0

把（）拆分成两个函数（），（），放在不等式的两边，即要证（）（），只要

fxgxhxgxhx

证明了（）（）即可，如图，这个命题显然更强，注意反过来不一定成立很明

gxminhxmax3.

显，（）是凹函数，（）是凸函数，因为这两个函数的凹凸性刚好相反，所以称为凹凸

gxhx

反转.

凹凸反转关键是如何分离，常见的不等式是由指数函数、对数函数、分式函数和多项式函

数构成，当我们构造差值函数不易求出导函数零点时（当然可以考虑用隐零点的方法），要

考虑指、对分离，即指数函数和多项式函数组合与对数函数和多项式函数组合分开，构造两

个单峰函数，然后利用导数分别求两个函数的最值并进行比较当然我们要非常熟练地掌握.

一些常见的指（对）数函数和多项式组合的函数的图象与最值.

3.必要储备：①x（当x0时取到等号）

ex1

②x（当x1时取到等号）

eex

x

e

③e（当x1时取到等号）

x

④lnxx1（当x1时取到等号）

lnx1

⑤（当xe时取到等号）

xe

试卷第1页，共5页

12

例如：当x＞0时，求证：lnx＞．

x

eex

x2

xxlnx＞

证明：两边同时乘以，即证明x．

ee

x2

fxxlnxgx

下面将左右两个部分分别构造新函数，即，x．

ee

fxgx

接下来我们再证明的最小值大于的最大值即可．

11

fxlnx1fx