矩阵论试题及答案.docVIP

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题号

一

二

三

四

五

六

七

得分

一．（10分）已知中的两种范数和，对于，证明是中的范数.

解：

⑴非负性：由于是两种范数，

故当A=0时，，所以；

当A≠0时，，所以

⑵齐性：

⑶三角不等式：

二．(每小题10分,共20分)已知,,

1.求

2.用矩阵函数方法求微分方程的解.

解：1.

显然,的一阶子式的公因子为1,容易知道

的二阶子式的公因子为,所以A的最小多项式为,即,

设,则

对于特征值有

,

所以

2.

三．(15分)用Givens变换求的QR分解.

解：,构造,

,构造,

,

,

四．(10分)用Gerschgorin定理证明至少有两个实特征值.

解：A的4个盖尔圆为:

,

,

,

,

它们构成的两个连通部分为,.易见,,都关于实轴对称且各含有1个和3个特征值,因为实矩阵的复特征值必成对出现,故,必各含有一个实特征值,从而A至少含有2个实特征值.

五．(20分)已知,

1.求A的满秩分解.

2.求

3.用广义逆矩阵的方法判别方程组是否相容.

4.求方程组的极小范数解或极小范数最小二乘解并指出所求解的类型.

解1。①+②,①+④,⑤-①;

④+①,④+③,④/(-2),④—②

所以

，，A=FG.

2.,

,

3.因为

,所以方程是不相容的,无解.

4.为极小范数最小二乘解,

残差,残差二模,

六．(15分)设中的多项式为,线性变换为

1.求的基与维数.

2.求的基与维数.

1．取的简单基计算得

,,,,写成矩阵形式为

，所以在该基下的矩阵为

又因为A的后三个向量线性无关，，的一个基为

,,

2．，求得

所以的一个基为

七．(10分)在线性空间中,设由基(Ⅰ)到基(Ⅱ)的过渡矩阵为C,又在基(Ⅰ)和基(Ⅱ)

中的坐标分别为列向量α和β.证明:存在使得的充要条件是:为C的一个特征值.

证明：必要性：已知，利用过渡矩阵基的变换公式得到

，

因为，所以其对应的坐标，知是C的一个特征值。

充分性：已知是C的一个特征值，设对应的特征向量为，则有

设基（Ⅱ）为则

且在基（Ⅱ）下的坐标为，而在基（Ⅰ）下的坐标为