高中数学平面向量4.docxVIP

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TOC\o1-5\h\z\u4.2闭合回路 111

4.3辅助线 113

4.4平行四边形模型(中线定理) 117

中线定理 118

中垂三角形 120

等差幂线 120

4.5极化恒等式 121

极化圆 129

4.6矩形的性质 130

4.7等腰三角形的性质 134

4.8凸四边形的几个性质 136

?5等和线篇 141

5.1共线向量定理 141

5.2等和线 153

5.3斜角坐标系 169

斜角坐标系下的向量共线问题 169

斜角坐标系下向量的线性表示问题 170

斜角坐标系下的线性规划问题 170

?6奔驰定理和三角形的四心 179

6.1奔驰定理 179

6.2三角形的四心 185

外心 185

重心 190

内心 193

垂心 195

综合练习 198

正三角形的心 200

心心相连 201

?7综合练习篇 204

4.2闭合回路

凸四边形的中位线性质就是典型的闭合回路的应用；

例△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若，则△ABC的形状是()．

A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定

答案选B．

解由于，故，不妨令，，则，由于，故△ABC为直角三角形．

向量加减法的交换律：，；【实质是闭合回路的运用】

例(1)?如图，已知四边形ABCD中，，，则．

(2)?在凸四边形ABCD中，，且，，则四边形ABCD的面积为．

答案(1)?；(2)?3．

解(1)?只须将所求向已知条件转化即可，故

．

(2)?，故，．

例已知平面向量，，则的最小值为．

答案．

法一万能坐标法

方向一（设点）设，，，，则

，

当且仅当、时取得等号．

方向二（设向量）注意到，因此，设，则

，

当且仅当、时取得等号．

法二向已知向量转化＋调整法

，

当且仅当、取得等号．

法三．

练习已知四边形ABCD中，，，则的取值范围是()．

A． B． C． D．

答案选C．

4.3辅助线

例(2007重庆理压轴)如图，在四边形ABCD中，，，，则的值为()．

A．2 B． C．4 D．

答案选C．

法一由，故

．

法二作CE⊥AB于点E，则BDCE为矩形，故．

例如图，A、B、C是直线l上的三点，P是直线l外一点，已知，，，则．

答案．

解如图作出辅助线，由勾股定理，易得，故．

例如图，在△ABC中，，，AC的垂直平分线DE与AB、AC分别交于D、E两点，且，则．

答案．

法一（常规解三角形法——注意设角和设边的综合运用）

易知…①，又，即…②，由①②解得：，进而，，故．

法二（解三角形之补形法）如图，作PC⊥AC交AB于点P，则，即，即，即△ACP为等腰直角三角形，进而易得，，故．

例已知a、b、c分别为△ABC的三个内角A、B、C的对边，，且，O为△ABC内一点，且满足，，则．

答案3．

解，即，故，；

法一（解三角形——面积法）由可知O为△ABC的重心，故，即，解得．

法二（解三角形——正弦定理法）延长AO交BC于点M，则，，解得．

法二（解三角形——补形法）如图，补成平行四边形ABEC，则在△ACE中，，，故，解得．

例在△ABC中，，，点P为线段BC上的动点，动点Q满足，则的最小值等于．

答案．

解如图，作AH⊥BC于H，由可知：，设，故

，

当且仅当时取得等号．

例在△ABC中，点P是边AB的中点，已知，，，则．

答案6．

法一由，两边平方，解得，故．

法二如图，补全平行四边形ABCD，易得．

例如图，A、B、C是直线l上的三点，点P是直线l外一点，已知，，，则．（用a表示）

答案．

解；

法一解三角形的角度＋设角＋算两次

设，则，…①，

又…②，由①②解得，故．

法二解三角形的角度＋设边＋等面积

设，由得：，又，解得．

法三解三角形的角度＋补形法

作CQ⊥AP于点Q，设，易得如图标注，由，解得．

对于含有直角和中点的一般都可以尝试补形法

法四（利用直角建系）设，，则，，又点C在直线上，故，进而易得．

4.4平行四边形模型(中线定理)

1.平行四边形模型

如图所示，在平行四边形ABC