大招12二次函数的零点分布问题(含答案解析）.pdf

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大招二次函数的零点分布问题

2

fxaxbxca0

探讨“二次函数的零点分布”问题，我们可以运用函数的单调性与函

数零点存在定理进行处理．主要需要考虑以下四个问题：

①二次函数图象的开口方向；

②对应一元二次方程根的判别式；

③二次函数图象的对称轴与区间端点的位置关系；

④二次函数在所给区间端点处函数值的正负．

2

fxxax41,2a

【典例1】已知函数在上有且只有一个零点，则实数的取值范围

是（）

A．8,10B．8,10C．4,5D．4,5

【大招指引】根据题意将零点问题转化为函数图象公共点问题进而求解答案即可.

21,2

fxxax4

【解析】因为函数在上有且只有一个零点，

4

2xa1,2

所以x4ax，即在上有且只有一个实根，

x

4

yxyax1,2

所以与的函数图象在时有一个公共点，

x

4

由于yx在1,2单调递减，

x

44

所以2a1，即4a5.

21

试卷第1页，共4页

故选：D

【题后反思】因为该题是二次函数在某区间上有零点，无法单独利用判别式的符号进行判

定，所以本题采用了分离法和数形结合思想进行处理.

【温馨提醒】已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：

（）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；

1

（）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；

2

（）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画

3

出函数的图象，利用数形结合的方法求解.

【举一反三】

21,1

fxax4x1a0

1．已知函数在区间内恰有一个零点，则满足条件的所有实

a

数的集合是（）

3,00,53,00,5

A．B．

43,00,543,00,5

C．D．

2x,xxx0x14x5

【典例2】已知二次函数yxax3有两个零点1212，若1，2，

a

求实数的取值范围．