高中数学 第二节 方程奥林匹克竞赛题解.pdfVIP

第二章代数

第二节方程

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B2-001如果方程x+ax+b=0与x+px+q=0有一个公根，求以它们的相异根为根

的二次方程．

【题说】1957年上海市赛高二复赛题2．

【解】设公根为α，则

2

α+aα+b=0

2

α+pα+q＝0

相减，得

(a-p)α＝q-b

所以

由韦达定理，另外两个相异的根为

故所求方程为

【注】利用两根之和等于一次项系数的相反数求出的方程为

此方程与上面求出的方程仅是外形不同，事实上，a，b，p，q有关系．

(b-q)2＝(aq-bp)(p-a)

n

B2-002方程x=1(x≥2)的n个根是1，x，x，…，x．证明：

12n-1

n-1n-2

【题说】1957年武汉市赛决赛题2．将原方程变形为(x-1)(x+x+…+x+1)=0．

n

【证】x-1=(x-1)(x-x)…(x-x)．因此，

1n-1

n-1n-2

(x-x)(x-x)…(x-x)＝x+x+…+x+1

12n-1

令x=±1得

(1-x)(1-x)…(1-x)=n

12n-1

所以

2

B2-003证明：如果整系数二次方程ax+bx+c=0(a≠0)有有理根，那么a、b、c中至

少有一个是偶数．

【题说】1958年～1959年波兰数学奥林匹克三试题2．

从而

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ap+bpq+cq=0

若p、q均为奇数，则

因此a、b、c中至少有一个偶数．

若p、q中有一个偶数，则另一个为奇数．不妨设p为奇数，q为偶数，则