专题1二次函数与等腰三角形问题-挑战2022年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘（解析版）.pdf

挑战2022年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘

专题1二次函数与等腰三角形问题

数学因运动而充满活力，数学因变化而精彩纷呈，动态几何问题是近年来中考的热点问题，以运动的

观点来探究几何图形的变化规律问题，动态问题的解答，一般要将动态问题转化为静态问题，抓住运动过

程中的不变量，利用不变的关系和几何性质建立关于方程（组）、函数关系问题，将几何问题转化为代数

问题。

在动态问题中，动点形成的等腰三角形问题是常见的一类题型，可以与旋转、平移、对称等几何变化

相结合，也可以与一次函数、反比例函数、二次函数的图象相结合，从而产生数与形的完美结合.解决动点

产生的等腰三角形问题的重点和难点在于应用分类讨论思想和数形结合思想进行准确的分类.

在讨论等腰三角形的存在性问题时，一般都要先分类．

如果△ABC是等腰三角形，那么存在①AB＝AC，②BA＝BC，③CA＝CB三种情况．

解等腰三角形的存在性问题，有几何法和代数法，把几何法和代数法相结合，可以使得解题又好又

快．

几何法一般分三步：分类、画图、计算．哪些题目适合用几何法呢？

如果△ABC的∠A（的余弦值）是确定的，夹∠A的两边AB和AC可以用含x的式子表示出来，那么就

用几何法．

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①如图1，如果AB＝AC，直接列方程；②如图2，如果BA＝BC，那么AC=ABcosÐA；③如图3，

2

1

如果CA＝CB，那么AB=ACcosÐA．

2

代数法一般也分三步：罗列三边长，分类列方程，解方程并检验．

如果三角形的三个角都是不确定的，而三个顶点的坐标可以用含x的式子表示出来，那么根据两点间

的距离公式，三边长（的平方）就可以罗列出来．

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AB=(xA-xB)+(yA-yB),AC=(xA-xC)+(yA-yC),BC=(xB-xC)+(yB-yC)

图1图2图3

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【例1】（2021•朝阳）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x+bx+c与x轴分别交于点A（﹣1，0）

和点B，与y轴交于点C（0，3）．

（1）求抛物线的解析式及对称轴；

（2）如图1，点D与点C关于对称轴对称，点P在对称轴上，若∠BPD＝90°，求点P的坐标；

（3）点M是抛物线上位于对称轴右侧的点，点N在抛物线的对称轴上，当△BMN为等边三角形时，请

直接写出点M的横坐标．

【分析】（1）利用待定系数法求解即可．

（2）如图1中，连接BD，设BD的中点T，连接PT，设P（1，m）．求出PT的长，构建方程求出m即

可．

（3）分两种情形：当点M在第一象限时，△BMN是等边三角形，过点B作BT⊥BN交NM的延长线于

T，设N（1，t），设抛物线的对称轴交x轴于E．如图3﹣2中，当点M在第四象限时，设N（1，n），

过点B作BT⊥BN交NM的延长线于T．分别利用相似三角形的性质求出点M的坐标，再利用待定系数

法求解．

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【解答】解：（1）把A（﹣1，0），点C（0，3）的坐标代入y＝﹣x+bx+c，得到，

解得，