模块一大招8琴生不等式(含答案解析）.docx

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大招8???琴生不等式

1．琴生不等式

凸函数的定义：设连续函数的定义域为，对于区间内任意两点，都有，则称为上的下凸（凸）函数；

反之，若有，则称为上的上凸（凹）函数.

琴生(Jensen)不等式（1905年提出）：若为上的下凸（凸）函数，则

（想象边形的重心在图象的上方，个点重合时“边形”的重心在图象上）

琴生(Jensen)不等式证明：

??1）时，由下凸（凸）函数性质知结论成立；

??2）假设时命题成立，即

??那么当时，设，

所以

所以，得证

2．加权平均琴生(Jensen)不等式：

??若为上的下凸（凸）函数，??且，则

3．曲线凸性的充分条件：设函数f(x)在开区间I内具有二阶导数，

（1）如果对任意x∈I，，则曲线y=f(x)在I内是下凸的；

（2）如果对任意x∈I，，则y=f(x)在I内是上凸的.

4．幂平均不等式：若，且，，则．由幂平均不等式得

【典例1】已知函数，则的最小值是．

【大招指引】给定一个函数，我们先要研究函数的性质，再去处理后续问题，很明显本题函数是奇函数，且周期为.故可先求其最大值；易知在上取得最大值，且为凸函数．从而可以利用琴生不等式进行解决.

解析：易知该函数为奇函数，故求其最大值即可；易知在上取得最大值，且为凸函数．那么，故最小值为．

【题后反思】本题的方法很多，值得各位同学及其思考，还有如下方法：

［方法一］：【通性通法】导数法

．

令，得，即在区间内单调递增；

令，得，即在区间内单调递减．

则．

故答案为：.

［方法二］：三元基本不等式的应用

因为，

所以

．

当且仅当，即时，取等号．

根据可知，是奇函数，于是，此时．

故答案为：.

［方法三］：升幂公式＋多元基本不等式

，

，

当且仅当，即时，．

根据可知，是奇函数，于是．

故答案为：.

［方法四］：化同角＋多元基本不等式+放缩

，当且仅当时等号成立．

故答案为：.

［方法五］：万能公式＋换元+导数求最值

设，则可化为，

当时，；当时，，对分母求导后易知，

当时，有最小值．

故答案为：.

［方法六］：配方法

，

当且仅当即时，取最小值．

故答案为：.

［方法七］：【最优解】周期性应用＋导数法

因为，所以，

即函数的一个周期为，因此时，的最小值即为函数的最小值．

当时，，

当时，因为

，令，解得或，由，，，所以的最小值为．故答案为：.

【温馨提醒】

琴生不等式在使用时一定要注意它的适用条件和解题步骤，在高考中作为一个解题技巧使用，尤其是小题当中．

【举一反三】

1．在内，求的最大值．

2．无数次借着你的光，看到未曾见过的世界：国庆七十周年?建党百年天安门广场三千人合唱的磅礴震撼，“930烈士纪念日”向人民英雄敬献花篮仪式的凝重庄严金帆合唱团，这绝不是一个抽象的名字，而是艰辛与光耀的延展，当你想起他，应是四季人间，应是繁星璀璨！这是开学典礼中，我校金帆合唱团的颁奖词，听后让人热血沸腾，让人心向往之.图1就是金帆排练厅，大家都亲切的称之为“六角楼”，其造型别致，可以理解为一个正六棱柱（图2）由上底面各棱向内切割为正六棱台（图3），正六棱柱的侧棱交的延长线于点，经测量，且

(1)写出三条正六棱台的结构特征.

(2)“六角楼”一楼为办公区域，二楼为金帆排练厅，假设排练厅地板恰好为六棱柱中截面，忽略墙壁厚度，估算金帆排练厅对应几何体体积.（棱台体积公式：）

(3)“小迷糊”站在“六角楼”下，陶醉在歌声里.“大聪明”走过来说：“数学是理性的音乐，音乐是感性的数学.学好数学方能更好的欣赏音乐，比如咱们刚刚听到的一个复合音就可以表示为函数，你看这多美妙!”

“小迷糊”：“”

亲爱的同学们，快来帮“小迷糊”求一下的最大值吧.

注：可以参考（不限于）下面公式：

①元均值不等式：

②琴生不等式：

若函数在上为“凸函数”，且为上任意个实数，则

注：在是“凸函数”

③柯西不等式：

注：其二元形式为

【典例2】设，，

求证：．

【大招指引】本题是证明不等式问题，证明不等式常见得方法是通过函数进行研究，根据不等式左侧能够发现，可以构造，然而题中又给出，，所以可以考虑琴生不等式证明，先研究其凹凸性，再利用琴生不等式证明.

解析：设函数，则，

所以在上下凸，

所以

又由算术平均不小于平方平均得

所以

所以

【题后反思】通过观察不等式的特征，从而构造函数，用二阶导数判断函数的凸性，求导运算是关键．要充分理解琴生不等式的特征.

【举一反三】

3．已知，，求证：．

4．设，且，求证：．

5．丹麦数学家琴生（Jensen）是19世纪对数学分析作出卓越贡献的巨人，特别是在函数