模块一大招6柯西不等式(含答案解析）.docx

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大招6???柯西不等式

1.二维形式的柯西不等式

2.二维形式的柯西不等式的变式

3.二维形式的柯西不等式的向量形式

注：有条件要用；没有条件，创造条件也要用.比如，对，并不是不等式的形状，但变成就可以用柯西不等式了.

4.扩展：，当且仅当时，等号成立.

5.记忆方法：口诀：平和城，城和平

平：平方

城：同“乘”，相乘

【典例1】实数x、y满足，则的最小值是（）

A．????B．????C．3????D．4

【大招指引】本题的特征是已知高幂因式，求低幂因式，根据柯西不等式的特征，高幂因式是平方和的乘积，右边是低幂因式的平方，因此本题需要先进行配凑，由于要小于等于两个平方和的乘积，但由于前系数较大，所以需变形为，即为．则.

解析：实数x、y满足，，

，，

当且仅当时取等号，的最小值是.故选：A.

【题后反思】不少同学在遇到不等式时，很想利用基本不等式解决，但解决不了，对于柯西不等式的利用，麻烦的是不会变形，那么变形的常见策略是什么呢？找准突破口，像本题就是对低幂形式进行变形，再对已知式进行配凑变形．

【温馨提醒】

1．对于柯西不等式的应用，仍然要注意等号成立条件，尤其是多维形式．

2．柯西不等式一般在使用时，一定要注意变形，配凑．

【举一反三】

1．若实数，则的最小值为（????）

A．14 B． C．29 D．

2．已知，，求的最值?

【典例2】函数的最大值为________．

【大招指引】此题没给条件，也就无法利用已知式进行求解，并且含有参数，那么我们的解题思路就是消参，但参数又在根号里，那只能利用平方解决.对于本题的式子结构，知它是柯西不等式右侧低幂形式，所以

，从而能快速得出结果.

解析：法一：柯西不等式∵且，函数的定义域为，且，

即时函数取最大值，最大值为.

法二：∵且，∴函数的定义域为

由，得

即，解得∴时函数取最大值，最大值为.

【题后反思】对于一维单变量求最值的问题，可以使用不等式进行解决，也可以利用函数知识，如导数进行解决，还可以利用换元法处理．

【举一反三】

（2023·全国·高三专题练习）

3．“柯西不等式”是由数学家柯西在研究数学分析中的“流数”问题时得到的，但从历史的角度讲，该不等式应当称为柯西﹣﹣布尼亚科夫斯基﹣﹣施瓦茨不等式，因为正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才将这一不等式推广到完善的地步，在高中数学选修教材4﹣5中给出了二维形式的柯西不等式：（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2当且仅当ad＝bc（即）时等号成立．该不等式在数学中证明不等式和求函数最值等方面都有广泛的应用．根据柯西不等式可知函数的最大值及取得最大值时x的值分别为（）

A． B． C． D．

4．已知，，且，则的最大值为（????）

A． B． C． D．

【典例3】（2022·全国·统考高考真题）已知a，b，c均为正数，且，证明：

(1)；

(2)若，则．

【大招指引】（1）方法一：根据，利用柯西不等式即可得证；

（2）由（1）结合已知可得，即可得到，再根据权方和不等式即可得证.

【解析】（1）[方法一]：【最优解】柯西不等式

由柯西不等式有，

所以，当且仅当时，取等号，所以.

[方法二]：基本不等式

由，，，，

当且仅当时，取等号，所以.

（2）证明：因为，，，，由（1）得，

即，所以，

由权方和不等式知，

当且仅当，即，时取等号，

所以.

【题后反思】（1）方法一：利用柯西不等式证明，简洁高效，是该题的最优解；

方法二：对于柯西不等式不作为必须掌握内容的地区同学，采用基本不等式累加，也是不错的方法．

【举一反三】

（2023·河南·校联考模拟预测）

5．已知a，b，c是正实数，且．求证：

(1)；

(2)．

（2023·江西吉安·统考一模）

6．已均为正数，且，证明：

(1)；

(2)．

【典例4】（2021·浙江·统考高考真题）已知平面向量满足.记向量在方向上的投影分别为x，y，在方向上的投影为z，则的最小值为___________.

【大招指引】本题是以平面向量为背景，考查不等式最值问题，可以先利用向量的坐标法，可设，由平面向量的知识可得，发现其复合柯西不等式的特征，可结合柯西不等式即可得解.

【解析】由题意，设，

则，即，

又向量在方向上的投影分别为x，y，所以，

所以在方向上的投影，

即，

所以，

当且仅当即时，等号成立，

所以的最小值为.故答案为：.

【题后反思】柯西不等式作为工具性的知识，所以在高考中单独考查的不多，常常会跟其他知识结合考查，需要先进行转化，再利用柯西不等式进行解决.

【举一反三】

7．已知，，是的三个