模块一大招4拉格朗日数乘法(含答案解析）.docx

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大招4???拉格朗日数乘法

给定二元函数和限制性条件，为寻找二元函数在附加条件下的极值点，对三变量函数分别求导：

即，，，即可求出x、y，那么二元函数的最值即在此处取到.如，，，求的最小值．

第一步：构造函数．

第二步：求导，，，

第三步：联立待入，联立解得，，，故最小为12．

【典例1】x、y满足，求的最大值．

【大招指引】已知式与未知式中含x与y的两个变量，符合给定二元函数和限制性条件，可以对三变量函数分别求导，令导数为0，求出x，y的值，从而得出的最大值．

解析：

分别求导联立得，，，故的最大值为

【温馨提醒】

在求得偏导函数的零点时，还需要判断零点对应的为极大值还是极小值，以便确定最大值还是最小值.

【举一反三】

1．设，，，求的最小值．

2．已知a，b∈R，a＋b＝4，则＋的最大值为．

【典例2】【2023辽宁大连适应性测试】已知，且，则的最小值为__________.

【大招指引】已知式与未知式中含x与y的两个变量，符合给定二元函数和限制性条件，同时，本题中已知式与未知式都含二次形式，仍然符合拉格朗日数乘法，可以对三变量函数分别求导，令导数为0，求出x，y的值，但需要在运算中注意求解技巧．

【答案】

拉格朗日数乘法

构造

对x求导，并令其为0，则有，

对y求导，并令其为0，则有，

对求导，并令其为0，则有，

解得，则.

【温馨提醒】本题也可以用常规思路，化2个变量为1个变量，再利用基本不等式求解.解法如下：因为，所以，

又，所以，

所以，

（当且仅当时取等号），所以的最小值为，故答案为：.

【举一反三】

【2023天津部分区二模】

3．已知实数、满足，则的最小值为.

【2023湖北襄阳四中适应性考试】

4．若a，b，c均为正数，且满足，则的最小值是（????）

A．2 B．1 C． D．

5．已知x0，y0,x+2y+2xy=8，则x+2y的最小值是

A．3 B．4 C． D．

【2023辽宁葫芦岛二模】

6．若，则的最小值是（????）

A． B．1

C．2 D．

【2023贵州毕节三诊】

7．若实数a，b满足，则（????）

A． B． C． D．

【2023河南名校青桐鸣联考】

8．已知正实数，，满足，则的最小值为（????）

A．5 B． C． D．

【2023重庆九龙坡区三模】

9．已知，，且，则下列结论正确的是（????）

A．的取值范围是 B．的取值范围是

C．的最小值是 D．的最小值是3

10．若实数满足，则的最大值为．

（2021年浙江省高考真题T17）

11．已知平面向量满足.记向量在方向上的投影分别为x，y，在方向上的投影为z，则的最小值为.

12．已知实数x，y，z满足：，则的最大值为.

13．设正数满足的最大值是.

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参考答案：

1．0

【分析】利用拉格朗日数乘法，由导数得到三个关系式，求出相应的，求出最小值.

【详解】，

①；②，

③，

由①②，消去可得④，

③④结合可得，

整理得，

即，

因为，，所以，

观察到，满足上式，又极值点唯一，故的最小值为0.

2．

【分析】由题意将通分，变形为关于(a＋b)和ab的式子，先求出ab的取值范围，设，再由基本不等式即可得解.

【详解】由基本不等式可得，

由题意，

设，，

则，

当且仅当时等号成立，

所以，的最大值为.

故答案为：

【点睛】本题考查了基本不等式求最值的应用，考查了换元法的应用及运算求解能力，对条件合理变形是解题关键，属于中档题.

3．##

【分析】由已知可得出，再结合基本不等式可求得的最小值.

【详解】因为，即，

所以，，

所以，，当且仅当或时，等号成立，

故的最小值为.

故答案为：.

4．A

【分析】先利用条件得到，再利用均值不等式即可得出结果.

【详解】因为，所以，

又a，b，c均为正数，，

当且仅当时取等号，所以，即，

故选：A.

5．B

【详解】解析：考察均值不等式，整理得即，又，

6．C

【分析】根据给定等式，利用均值不等式变形，再解一元二次不等式作答.

【详解】，当且仅当时取等号，

因此，即，解得，

所以当时，取得最小值2.

故选：C

7．B

【分析】根据给定的等式，利用均值不等式建立不等式，再求解不等式判断作答.

【详解】，由，得，

于是，整理得，当且仅当时取等号，

解得，A错误，B正确；

又，即，当