使用Maple求解微分方程三课件.pptVIP

第十五讲微分方程实验指南(1)宁波大学陶祥兴等编高等教育电子音像出版社

本节内容提要一、数学实验概述二、使用Maple求解微分方程三、方向场与积分曲线四、欧拉折线法与数值解

一、数学实验概述1.什么是数学实验所谓“数学实验”,就是从问题(数学本问题或实际应用问题)出发,借助计算机,通过学习者亲自设计与动手操作,学习、探索和发现数学规律,或运用现有的数学知识分析和解决实际问题的过程。换言之“数学实验”就是学习者自主探索数学知识及其实际应用的实践过程。

2.数学实验的作用(1)借助软件验证数学知识与结论,加深对数学概念与数学理论的理解和认识(比如应用软件的图形和动画等直观、可视化功能)。(2)借助计算机自主探索数学问题的求解方法,自行发现数学规律(应用计算机的数值计算、符号计算及推理功能等)。(3)应用数学知识、借助计算工具,探索解决实际应用问题,以提高数学素养、培养创新能力。

3.“数学实验”与“数学建模”“数学实验”与“数学建模”,均以创新能力培养为目标,但侧重点不同,数学建模强调在“应用”数的过程中培养能力,而数学实验旨在引导学习者借助数学软件理解抽象的数学理论、自主探索和研究数学问题以及数学的应用问题的过程,强调在“探索”过程中学习数学并培养能力。因此,它们的特点和区别是：数学实验=探索＋创新;数学建模=应用＋创新

二、使用Maple求解微分方程1.在Maple中表示微分方程在Maple中,表示一个微分方程较好的方法是用Maple的赋值语句为其指定一个惟一的名字。比如:使用ode表示微分方程x?(t)=kx(t)其中diff是求导命令在Maple中因变量必须连同它的自变量一起出现,即x(t)不能简写为x

2.使用dsolve命令求解微分方程使用Maple的dsolve命令可以得到微分方程的解。如果指定初始或边界条件,Maple将尝试找到一个特解;否则将给出一般解。求解结果中_C1表示自由常量通过添加初始条件得到特解

3.绘制解曲线dsolve命令得到的解,系统以等式形式显示,可使用unapply命令将其转换为函数形式。之后,就可以使用绘图命令(比如plot)绘制解曲线,比如:左图是一个特解的曲线。可以将一组解曲线(解曲线簇)绘制在一起,见下页图示。

assign命令用来将一个等式转换为一个赋值.

4.求解微分方程组Maple的dsolve命令可用来求解微分方程组,通常可以得到解析解,当无法得到精确解时(特别是高阶非线性微分方程组),可尝试求其数值解。

随着t的增大,方程组的解围绕在一个半径为1的圆上(此圆通常称为极限圆)

Lorenz微分方程产生吸引子(紧紧地把解的图形吸在一起)

三、方向场与积分曲线1.方向场:对于形如dx(t)/dt=f(t,x)的微分方程可在没有求得其精确解的情况下,用绘图的方式得到解的一些信息。这是因为,若得到解曲线上的一些初始数据,比如初始条件或边界条件(t0x),就可找到上述方程的解x(t)在该点的斜率f(t,00x0).若找到的点数足够多,则在相关区域内可以看出微分方程解的趋势。如此绘出的图形称为它的方向场(directionfield)。

Maple在程序包DEtools中提供了命令dfieldplot(),用来绘制微分方程的方向场,这将有助于直观地了解微分方程解的趋势,参见下面的例子:

2.方向场与积分曲线动画

四、欧拉折线法与数值解1.欧拉方法对于如下的微分方程初值问题dy/dx=F(x,y(x)),y(x)=y00欧拉方法可用下述递推公式表示x=x+h,y=y+hF(x,y).n+1nn+1nnn下面的Maple程序Euler0是欧拉算法的一个实现,其中函数F,初始时刻x,初始位置y0,步长h0步数N是程序参数。

使用程序Euler0求解微分方程初值问题{dy/dx=?2y,y(0)=1}的近似解.

求解微分方程dy/dx=1+(y?x)的近似解,初值为y(0)=0.52

上面的Maple程序Euler0在使用时有不便之处,比如它以右侧的函数F为参数,不是以微分方程作为参数的。下面的程序Euler弥补了这一不足:

使用程序Euler求dy/dx=?2y的近似解,初值y(0)=1.

在下面的例子中,分别令N=2,4,8,应用上面的Maple程序Euler,求解下述初值问题在区间[1,2]的近似解:应用程序Euler之前的一些准备工作

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