人教A版高中同步训练数学必修第二册精品课件 第6章 平面向量及其应用 6.2.4 第2课时 向量数量积在夹角、模、垂直中的应用.ppt

6.2.4向量的数量积第2课时向量数量积在夹角、模、垂直中的应用

课前·基础认知课堂·重难突破

课前·基础认知

1.向量数量积的运算律(1)a·b=b·a.(2)(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb).(3)(a+b)·c=a·c+b·c.微思考(a·b)·c=a·(b·c)成立吗?提示:(a·b)·c≠a·(b·c).因为a·b,b·c是数量积,是实数,不是向量,所以(a·b)·c与向量c共线,a·(b·c)与向量a共线.因此,(a·b)·c=a·(b·c)在一般情况下不成立.

2.向量数量积的运算性质

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一向量数量积的运算性质典例剖析1.(多选题)设a,b,c是任意的非零向量,且相互之间不共线,下列结论正确的是()A.a·c-b·c=(a-b)·cB.(b·c)a-(c·a)b不与c垂直C.|a|-|b||a-b|D.(3a+2b)·(3a-2b)=9|a|2-4|b|2答案:ACD

解析:根据向量数量积的分配律知A中结论正确;∵[(b·c)·a-(c·a)·b]·c=(b·c)·(a·c)-(c·a)·(b·c)=0,∴(b·c)·a-(c·a)·b与c垂直,故B中结论错误;∵a,b不共线,∴|a|,|b|,|a-b|组成三角形的三条边,∴|a|-|b||a-b|成立,C中结论正确;D中结论正确.故选ACD.

学以致用1.对于任意向量a,b,c,下列等式成立的是()A.|a·b|=|a||b| B.|a+b|=|a|+|b|C.(a+b)·c=a·b·c D.|a|=答案:D

解析:因为a·b=|a||b|cosa,b,所以|a·b|≤|a||b|,所以A中等式不成立;根据向量加法的平行四边形法则,得|a+b|≤|a|+|b|,只有当a,b同向时取“=”,所以B中等式不成立;因为(a+b)·c=a·c+b·c,所以C中等式不成立;因为a·a=|a||a|cos0=|a|2,所以|a|=,所以D中等式成立.

二 求向量的模典例剖析2.(1)已知向量a,b的夹角为60°,|a|=2,|b|=1,则|a+2b|=.?答案：解析:|a+2b|2=(a+2b)2=|a|2+2·|a|·|2b|·cos60°+(2|b|)2

规律总结求向量的模的常见思路及依据(1)常见思路:求模问题一般转化为求模的平方,与向量数量积联系,并灵活应用a2=|a|2,勿忘记开方.(2)依据:a·a=a2=|a|2或|a|=,此性质可用来求向量的模,可以实现实数运算与向量运算的相互转化.(3)一些常见的等式应熟记,如(a±b)2=a2±2a·b+b2,(a+b)·(a-b)=a2-b2等.

学以致用2.若向量a,b的夹角为120°,|a|=1,|a-2b|=,则|b|=()答案:C解析:设向量a,b的夹角为θ,因为|a-2b|2=|a|2+4|b|2-4|a||b|cosθ,

三与向量垂直、夹角有关的问题典例剖析3.(1)已知e1与e2是两个互相垂直的单位向量,若向量e1+ke2与ke1+e2的夹角为锐角,则k的取值范围为.?答案：(0,1)∪(1,+∞)解析：∵e1+ke2与ke1+e2的夹角为锐角,e1与e2是两个互相垂直的单位向量,∴(e1+ke2)·(ke1+e2)=+(k2+1)e1·e2=2k0,∴k0.当k=1时,e1+ke2=ke1+e2,它们的夹角为0°,不符合题意,舍去.综上,k的取值范围为k0且k≠1.

(2)已知非零向量a,b满足a+3b与7a-5b互相垂直,a-4b与7a-2b互相垂直,求a与b的夹角θ.②-①得,23b2-46a·b=0,∴2a·b=b2,代入①得a2=b2,∴|a|=|b|,

互动探究(变条件)在本例(1)中,若将“锐角”改为“钝角”,其他条件不变,求k的取值范围.解:∵e1+ke2与ke1+e2的夹角为钝角,e1与e2是两个互相垂直的单位向量,当k=-1时,e1+ke2与ke1+e2方向相反,它们的夹角为π,不符合题意,舍去.综上,k的取值范围是k0且k≠-1.

规律总结1.求向量a与b夹角的思路(1)求向量夹角θ的关键是计算a·b及|a||b|,然后利用cosθ=求出cosθ的值,最后借助θ∈[0,π],求出θ的值.(2)在个别含有|a|,|b|与a·b的等量关系式中,常利用消元法计算cosθ的值.2.利用夹角为锐角(或钝角)求参数的取值范围问题要注意排除两个向量共线的情况.

学以致用3.已知|a|=2,|b|=1,向量a,b的夹角为60°,c=a+5b,d=ma-2b.当实数m为何值时,c与d垂直?解:由已知得a·b=2×1×c