人教A版高中同步训练数学必修第二册精品课件 第8章 立体几何初步 8.6.1 直线与直线垂直.ppt

第八章立体几何初步8.6.1直线与直线垂直

课前·基础认知课堂·重难突破

课前·基础认知

1.异面直线所成的角定义:已知两条异面直线a,b,经过空间任一点O分别作直线a∥a,b∥b,我们把直线a与b所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).?微提醒在研究异面直线所成角的大小时,通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角.

2.两条异面直线互相垂直(1)定义:如果两条异面直线所成的角是直角,那么这两?条异面直线互相垂直.直线a与直线b垂直,记作a⊥b.?(2)异面直线所成的角θ的取值范围:0°θ≤90°.?(3)空间两条直线所成角α的取值范围:0°≤α≤90°;当两条直线a,b相互平行时,规定它们所成的角为0°.?

微探究在平面内,两条直线相交成四个角,其中不大于90°的角称为它们的夹角,用以刻画两直线的错开程度.如图,在正方体ABCD-EFGH中,如何刻画异面直线AB与HF的错开程度?应用了什么数学思想?提示:平移转化成相交直线所成的角,由于AB∥EF,可用EF与HF的夹角来刻画.应用的是转换思想,即化空间图形问题为平面图形问题.

课堂·重难突破

一异面直线所成的角典例剖析A.150° B.60° C.120° D.30°答案:D

规律总结求两条异面直线所成的角的步骤(1)用平移法,将两条异面直线平移,使平移后的两条直线相交于一点.(2)找出两条直线所成的角,即为两条异面直线所成的角.(3)求出角的值,常利用解三角形得出.注意异面直线所成角的范围是(0,].

学以致用(1)求异面直线BC和AC所成的角的大小;(2)求异面直线AA和BC所成的角的大小.

解:(1)因为BC∥BC,所以∠BCA是异面直线AC与BC所成的角.所以∠BCA=45°.所以异面直线BC和AC所成的角为45°.(2)因为AA∥BB,所以∠BBC是异面直线AA和BC所成的角.所以BC=4,∠BBC=60°.所以异面直线AA与BC所成的角为60°.

二直线与直线垂直的证明典例剖析?2.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是A1B1,B1C1的中点,求证:DB1⊥EF.

解:方法一:如图,连接A1C1,B1D1,并设它们相交于点O,取DD1的中点G,连接OG,A1G,C1G.则OG∥B1D,EF∥A1C1.∴∠GOA1为异面直线DB1与EF所成的角或其补角.∵GA1=GC1,O为A1C1的中点,∴GO⊥A1C1.∴异面直线DB1与EF所成的角为90°.∴DB1⊥EF.

方法二:如图,连接A1D,取A1D的中点H,连接HE,则HE??DB1.于是∠HEF为所求异面直线DB1与EF所成的角或其补角.连接HF,设AA1=1,则EF=,HE=,取A1D1的中点I,连接HI,IF,则HI⊥IF.∴HF2=HI2+IF2=.∴HF2=EF2+HE2.∴∠HEF=90°.∴异面直线DB1与EF所成的角为90°.∴DB1⊥EF.

规律总结证明两条异面直线垂直的步骤(1)恰当选点,用平移法构造出一对相交的角.(2)证明这个角就是异面直线所成的角(或补角).(3)把相交角放在平面图形中,一般是放在三角形中,通过解三角形求出所构造的角的度数.(4)给出结论:若求出的平面角为直角,垂直得证.

学以致用2.如图,在空间四边形ABCD中,E,F,G分别是BC,AD,DC的中点,FG=2,GE=,EF=3.求证:AC⊥BD.

证明:∵点G,E分别是CD,BC的中点,∴GE∥BD,同理GF∥AC.∴∠FGE或∠FGE的补角是异面直线AC与BD所成的角.在△EFG中,∵FG=2,GE=,EF=3,满足FG2+GE2=EF2,∴∠FGE=90°.即异面直线AC与BD所成的角是90°.∴AC⊥BD.

三 异面直线所成角的应用典例剖析3.如图,在四面体A-BCD中,AC=BD=a,AC与BD所成的角为60°,M,N分别为AB,CD的中点,则线段MN的长为.

规律总结关于异面直线所成角的应用当已知条件中含有异面直线所成角时,应先作出该角,才能应用此条件,但要注意作出的角不一定是已知异面直线所成角,也可能是已知角的补角,应分情况讨论.

学以致用3.如图,在正方体ABCD-EFGH中,M,N分别是BF,CG的中点,且AG和BN所成的角为39.2°,求AM和BN所成角的大小.

解:连接MG,因为BCGF是正方形,所以BFCG.因为M,N分别是BF,CG的中点,所以BMNG,所以四边形BNGM是平行四边形,所以BN∥MG,所以∠AGM(或其补角)是异面直线AG和BN所成的角,∠AMG(或其补角)是异面直线AM和BN所成的角.