人教A版高中同步训练数学必修第二册精品课件 第8章 立体几何初步 习题课二 空间直线、平面的平行与垂直的综合问题.pptVIP

习题课二空间直线、平面的平行与垂直的综合问题

一 平行和垂直关系的综合证明在研究直线、平面的位置关系的过程中,重点是其特殊情况,即直线、平面的平行和垂直关系.直线、平面平行和垂直的判定和性质是本章的重点内容,也是解决立体几何问题的基本定理.在解答题中常常同时考查平行和垂直关系.

典例剖析1.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,CD=2AB,平面PAD⊥底面ABCD,PA⊥AD,E和F分别为CD和PC的中点.求证:(1)PA⊥底面ABCD;(2)BE∥平面PAD;(3)平面BEF⊥平面PCD.

证明:(1)因为平面PAD⊥底面ABCD,PA在平面PAD内且垂直于这两个平面的交线AD,所以PA⊥底面ABCD.(2)因为AB∥CD,CD=2AB,E为CD的中点,所以AB∥DE,且AB=DE.所以四边形ABED为平行四边形.所以BE∥AD.又因为BE?平面PAD,AD?平面PAD,所以BE∥平面PAD.

(3)因为AB⊥AD,所以四边形ABED为矩形,所以BE⊥CD,AD⊥CD.由(1)知PA⊥底面ABCD,又CD?平面ABCD,所以PA⊥CD.又PA∩AD=A,PA?平面PAD,AD?平面PAD,所以CD⊥平面PAD.又PD?平面PAD,所以CD⊥PD.

因为E和F分别是CD和PC的中点,所以PD∥EF.所以CD⊥EF.因为BE∩EF=E,BE?平面BEF,EF?平面BEF,所以CD⊥平面BEF.因为CD?平面PCD,所以平面BEF⊥平面PCD.

规律总结1.线线平行、线面平行、面面平行这三种关系是相互联系、相互转化的,它们的联系如下:2.线线垂直、线面垂直、面面垂直相互间的转化:

3.平行、垂直间的转化(a,b为直线,α,β为平面):

(1)a⊥α,b⊥α?a∥b;

(2)a∥b,a⊥α?b⊥α;

(3)a⊥α,a⊥β?α∥β;

(4)α∥β,a⊥α?a⊥β.

跟踪训练1.在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥AC,B1C⊥平面ABC,E,F分别是AC,B1C的中点.求证:(1)EF∥平面AB1C1;(2)平面AB1C⊥平面ABB1.

证明:(1)因为E,F分别是AC,B1C的中点,所以EF∥AB1,因为EF?平面AB1C1,AB1?平面AB1C1,所以EF∥平面AB1C1.(2)因为B1C⊥平面ABC,AB?平面ABC,所以B1C⊥AB.又因为AB⊥AC,AC∩B1C=C,AC?平面AB1C,B1C?平面AB1C,所以AB⊥平面AB1C,因为AB?平面ABB1,所以平面AB1C⊥平面ABB1.

二 立体几何中的折叠问题平面图形翻折为空间图形问题的解题关键是分清翻折前后图形的位置和数量关系的变与不变.一般地,位于“折痕”同侧的点、线、面之间的位置和数量关系不变,而位于“折痕”两侧的点、线、面之间的位置关系会发生变化.

典例剖析2.如图1,在矩形ABCD中,AD=1,AB=3,M为CD上一点,且CM=2MD.将△ADM沿AM折起,使得平面ADM⊥平面ABCM,如图2,点E是线段AM的中点.(1)求四棱锥D-ABCM的体积;(2)求证:平面DEB⊥平面ABCM.图1图2

(1)解:由已知DA=DM,E是AM的中点,∴DE⊥AM.∵平面ADM⊥平面ABCM,平面ADM∩平面ABCM=AM,DE?平面ADM,∴DE⊥平面ABCM.四棱锥D-ABCM的体积(2)证明:由(1)可得,DE⊥平面ABCM,DE?平面DEB,∴平面DEB⊥平面ABCM.

规律总结解决折叠问题的步骤:

跟踪训练2.如图,在四边形ABCD中,AB=AD=CD=1,BD=,BD⊥CD.将四边形ABCD沿对角线BD折成四面体A-BCD,使平面ABD⊥平面BCD.(1)求证:AB⊥AC;(2)求直线AC与平面BCD所成角的大小.

(1)证明:因为AB=AD=1,BD=,所以BD2=AB2+AD2,所以△ABD是等腰直角三角形,所以AB⊥AD,即AB⊥AD.由题意,平面ABD⊥平面BCD,平面ABD∩平面BCD=BD,CD⊥BD,所以CD⊥平面ABD,所以CD⊥AB,又因为AB⊥AD,且AD∩CD=D,所以AB⊥平面ACD,所以AB⊥AC.

(2)解:取BD的中点O,连接OA,OC.因为AB=AD,所以AO⊥BD,又因为平面ABD⊥平面BCD,平面ABD∩平面BCD=BD,所以AO⊥平面BCD.所以∠ACO是直线AC与平面BCD所成的角.

三 立体几何中的探索性问题解决探索性问题一般用分析法,常从结论入手,分析得到该结论所需的条件或与其等价的条件,然后结合已知条件求解.

典例剖析3.如图,在底面是菱形的四棱锥P-ABCD中,∠ABC=60°,PA=AC=a,PB=PD=a,点E在PD上,且PE∶ED=2∶1