人教A版高中同步训练数学选择性必修第一册精品课件 第1章 空间向量与立体几何 1.4.1 第2课时 用空间向量研究直线、平面的垂直关系 (2).ppt

1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系第2课时用空间向量研究直线、平面的垂直关系

课前·基础认知课堂·重难突破素养·目标定位随堂训练

素养?目标定位

目标素养1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系.2.会用直线的方向向量及平面的法向量证明直线与直线、直线与平面及平面与平面的垂直问题.3.通过本节课学习,提升学生数学运算、直观想象以及逻辑推理的核心素养.

知识概览

课前·基础认知

空间中直线、平面的垂直

答案:C解析:∵平面α⊥平面β,∴n·m=0.将选项代入验证,可知C满足.故选C.

课堂·重难突破

一证明线线垂直典例剖析1.已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都为1,M是BC的中点,N是CC1上的点,且.求证:AB1⊥MN.

规律总结利用空间向量证明两条直线垂直的常用方法及步骤:(1)基向量法①选取三个不共面的已知向量(通常是它们的模及其两两夹角为已知)为空间的一个基底;②把两条直线的方向向量用基底表示;③利用向量的数量积运算,计算出两条直线的方向向量的数量积为0,得到方向向量垂直;④由方向向量垂直得到两条直线垂直.

(2)坐标法①根据已知条件和图形特征,建立适当的空间直角坐标系,正确地写出各点的坐标;②根据所求出的点的坐标求出两条直线的方向向量的坐标;③计算出两条直线的方向向量的数量积为0,得到方向向量垂直;④由方向向量垂直得到两条直线垂直.

学以致用1.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=3,BC=4,AB=5,AA1=4,求证:AC⊥BC1.

证明:在△ABC中,∵AC=3,BC=4,AB=5,∴AC⊥BC.又在直三棱柱ABC-A1B1C1中,CC1⊥平面ABC,∴AC,BC,C1C两两互相垂直.如图,以C为原点,CA,CB,CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系.则C(0,0,0),A(3,0,0),C1(0,0,4),B(0,4,0),

二证明线面垂直典例剖析2.如图,正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为2,D为CC1的中点.求证:AB1⊥平面A1BD.

证明:如图,取BC的中点O,连接AO.因为△ABC为正三角形,所以AO⊥BC.又在正三棱柱ABC-A1B1C1中,平面ABC⊥平面BCC1B1,平面ABC∩平面BCC1B1=BC,AO?平面ABC,所以AO⊥平面BCC1B1.如图,以O为原点,建立空间直角坐标系,

互动探究(变问法)本例条件不变,试问:在线段A1B1上,是否存在点P,使得AP⊥平面A1B1D?若存在,说明点P的位置;若不存在,说明理由.

规律总结用坐标法证明线面垂直的方法及步骤方法一:(1)建立空间直角坐标系.(2)将直线的方向向量用坐标表示.(3)找出平面内两条相交直线,并用坐标表示它们的方向向量.(4)分别计算两组向量的数量积,由数量积为0,得到线线垂直.(5)利用线面垂直的判定定理,得到线面垂直.

方法二:(1)建立空间直角坐标系.(2)将直线的方向向量用坐标表示.(3)求出平面的法向量.(4)根据直线的方向向量与平面的法向量共线,得到线面垂直.

学以致用2.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=1,AA1=2,P为DD1的中点.求证:PB1⊥平面PAC.

证明:如图,以D为原点,DC,DA,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,则C(1,0,0),A(0,1,0),P(0,0,1),B1(1,1,2),

三证明面面垂直典例剖析3.三棱锥被平行于底面ABC的平面所截得的几何体如图所示,截面为A1B1C1,∠BAC=90°,A1A⊥平面ABC,A1A=,AB=AC=2A1C1=2,D为BC的中点.求证:平面A1AD⊥平面BCC1B1.

证明:如图,以A为原点,AB,AC,AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,

规律总结向量法证明:面面垂直的优越性主要体现在不必考虑图形的位置关系,恰当建系或用基向量表示后,只需经过向量运算就可得到要证明:的结果,思路方法“公式化”,降低了思维难度.

学以致用3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为BB1,CD的中点.(1)求证:平面AED⊥平面A1FD1;(2)在线段AE上求一点M,使得A1M⊥平面AED.

(1)证明:如图,以D为原点,DA,DC,DD1所在直线为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系.不妨设正方体的棱长为2,则D(0,0,0),A(2,0,0),E(2,2,1),F(0,1,0),A1(2,0,2),D1(0,0,2),

令y=1,则z=-2.所以n1=(0,1,-2)为平面AED的一个法向量.同理,n2=(0,2,