人教A版高中同步训练数学选择性必修第一册精品课件 第1章 空间向量与立体几何 1.4.2 第1课时 用空间向量研究距离问题.ppt

1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题第1课时用空间向量研究距离问题

课前·基础认知课堂·重难突破

课前·基础认知

1.空间中点到直线的距离如图,已知直线l的单位方向向量为u,A是直线l上的定点,P是直线l外一点.

微训练1已知点A(0,0,2),B(1,0,2),C(0,2,0),则点A到直线BC的距离为()答案:A

2.空间中点到平面的距离

答案:A

解析:如图,以P为原点,PA,PB,PC所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,

课堂·重难突破

一求点到直线的距离典例剖析1.在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为C1C,D1A1的中点,求点A到直线EF的距离.解:如图,以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,则A(2,0,0),E(0,2,1),F(1,0,2),所以直线EF的一个单位方向向量为

互动探究1.(变问法)本例其他条件不变,若G为A1D的中点,求直线CG到直线EF的距离.

又EF与CG不重合,所以EF∥CG.所以直线CG到直线EF的距离即为点C到直线EF的距离.

2.(变问法)本例条件不变,若P点在直线EF上,求P点到直线AB的距离的最小值.

规律总结1.向量法求点N到直线l的距离的步骤

(1)建系,依据图形先求出直线l的单位方向向量u.2.两平行直线间的距离可转化为点到直线间的距离进行求解.

学以致用答案:A

二求点到平面的距离典例剖析2.已知四边形ABCD是边长为4的正方形,E,F分别是AB,AD的中点,CG垂直于正方形ABCD所在的平面,且CG=2,求点B到平面EFG的距离.

解:如图,以C为坐标原点,CD,CB,CG所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系.由题意可知,G(0,0,2),E(2,4,0),F(4,2,0),B(0,4,0),

规律总结求点到平面的距离的四步骤?

学以致用2.如图,该多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截而得到的,其中AB=4,BC=2,CC1=3,BE=1.求:(1)BF的长;(2)点C到平面AEC1F的距离.

解:如图,以D为原点,DA,DC,DF所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,则B(2,4,0),A(2,0,0),C(0,4,0),E(2,4,1),C1(0,4,3).(1)设F(0,0,z).∵四边形AEC1F为平行四边形,

三求直线到平面的距离或两平行平面之间的距离典例剖析3.在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD为直角梯形,AB∥CD,且∠ADC=90°,AD=1,CD=,BC=2,AA1=2,E是CC1的中点,求直线A1B1到平面ABE的距离.

解:如图,过点C作CF⊥AB于点F,由题意可知,四边形ADCF为矩形,以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,

因为A1B1∥AB,A1B1?平面ABE,AB?平面ABE,所以A1B1∥平面ABE,所以直线A1B1到平面ABE的距离即为点A1到平面ABE的距离.设平面ABE的法向量为n=(x,y,z),

互动探究(变问法)本例其他条件不变,若M是BB1的中点,求平面D1MC1到平面ABE的距离.解:如图,建立空间直角坐标系,

因为AB与C1D1不重合,BE与C1M不重合,所以C1D1∥AB,C1M∥BE.因为C1D1?平面ABE,AB?平面ABE,所以C1D1∥平面ABE,同理C1M∥平面ABE.又C1D1∩C1M=C1,所以平面D1MC1∥平面ABE.所以平面D1MC1到平面ABE的距离即为点C1到平面ABE的距离.由例题解析知,平面ABE的一个法向量n=(1,0,1),

规律总结求直线到平面的距离或两平行平面之间的距离,都可以转化为求点到平面的距离.为计算方便,往往选取直线上或平面内比较特殊的点.

学以致用3.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,求平面AB1D1与平面BDC1的距离.

解:由正方体的性质易得平面AB1D1∥平面BDC1,则两平面间的距离可转化为点B到平面AB1D1的距离.显然A1C⊥平面AB1D1,以D为坐标原点,分别以DA,DC,DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(图略),则平面AB1D1的一个法向量为n=(1,-1,1),又A(a,0,0),B(a,a,0),