人教A版高中同步训练数学选择性必修第一册精品课件 第2章 直线和圆的方程 2.4.2 圆的一般方程.ppt

2.4.2圆的一般方程

课前·基础认知课堂·重难突破

课前·基础认知

微拓展1.圆的一般方程是x2+y2+Dx+Ey+F=0(其中D2+E2-4F0),但并非形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程都表示圆.当D2+E2-4F=0时,其表示一个点,当D2+E2-4F0时,不表示任何图形.2.圆的一般方程具有明显的代数结构特征:(1)x2,y2项的系数均为1;(2)没有xy项;(3)D2+E2-4F0.3.若二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆,

2.轨迹方程(1)点M的轨迹方程是指点M的坐标(x,y)满足的关系式.?(2)轨迹是指点在运动变化过程中形成的图形.在解析几何中,我们常常把图形看作点的轨迹(集合).?(3)求符合某种条件的动点M的轨迹方程,实质上就是利用题设中的几何条件,通过“坐标化”将其转化为关于变量x,y之间的方程.

微思考已知定点A(2,2),动点M(x,y)满足|MA|=1,则点M的轨迹方程是什么?提示:由题意知,满足条件的点M是以点A(2,2)为圆心,1为半径的圆,所以有(x-2)2+(y-2)2=1,即点M的轨迹方程是(x-2)2+(y-2)2=1.

课堂·重难突破

一圆的一般方程典例剖析1.(1)若圆x2+y2+2x+ky+k-1=0的面积是π,则该圆的圆心坐标为()A.(-1,1) B.(-1,-1) C.(-1,2) D.(-1,-2)(2)已知点P(1,2)在圆C:x2+y2+kx+4y+k2+1=0的外部,则k的取值可能是()A.-1 B.-2 C.1 D.2答案:(1)B(2)C

规律总结1.方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆的条件是D2+E2-4F0,2.当圆的方程用一般方程给出时,判断点(x0,y0)与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0的位置关系的方法如下:

学以致用1.(1)已知a∈R,方程a2x2+(a+2)y2+4x+8y+5a=0表示圆,则圆心坐标为,半径为.?(2)若点M,N在圆x2+y2+kx+2y-4=0上,且点M,N关于直线x-y+1=0对称,则该圆的面积为.?答案:(1)(-2,-4)5(2)9π

二求圆的一般方程典例剖析2.已知△ABC的三个顶点分别是点A(2,2),B(5,3),C(3,-1).(1)求△ABC的外接圆的方程;(2)若点M(a,2)在△ABC的外接圆上,求a的值.

解:(1)设△ABC外接圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,所以△ABC的外接圆的方程为x2+y2-8x-2y+12=0.(2)由(1)知△ABC的外接圆的方程为x2+y2-8x-2y+12=0,∵点M(a,2)在△ABC的外接圆上,∴a2+22-8a-2×2+12=0,即a2-8a+12=0,解得a=2或a=6.

学以致用2.已知一圆过P(4,-2),Q(-1,3)两点,且圆心C在直线x-2y+3=0上,求圆C的方程.解:设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,所以圆C的方程为x2+y2-10x-8y+4=0.

三与圆有关的轨迹问题典例剖析3.已知Rt△ABC的斜边为AB,且点A(-1,0),B(3,0),求直角顶点C的轨迹方程.解:(1)(方法一:直接法)设直角顶点C(x,y),因为AC⊥BC,且A,B,C三点不共线,所以x≠3且x≠-1.

(方法二:定义法)设斜边AB的中点为D,由中点坐标公式得点D(1,0).由直角三角形的性质知,|CD|=|AB|=2.由圆的定义知,动点C的轨迹是以点D(1,0)为圆心,以2为半径的圆(因为A,B,C三点不共线,所以除去与x轴的交点).设点C(x,y),则直角顶点C的轨迹方程为(x-1)2+y2=4(x≠3且x≠-1).

互动探究1.(变问法)试求直角边BC中点M的轨迹方程.

解:(代入法)设点M(x,y),点C(x0,y0),因为点B(3,0),M是线段BC的中点,由本例知,点C在圆(x-1)2+y2=4(x≠3且x≠-1)上运动,将x0,y0代入该方程,得(2x-4)2+(2y)2=4,即(x-2)2+y2=1.因此动点M的轨迹方程为(x-2)2+y2=1(x≠3且x≠1).

2.(变条件)本例中,A,B两点坐标不变,若动点M到点A的距离是到点B距离的2倍,试求动点M的轨迹方程.

规律总结求动点的轨迹方程的三种常用方法

(1)直接法:根据题目条件,先建立坐标系,设出动点坐标,找出动点满足的条件,再化简求得动点的轨迹方程.

(2)定义法:当动点的运动轨迹符合圆的定义时,可利用定义写出动点的轨迹方程.

(3)代入法:若动点P(x,y)依赖于某圆上的一个动点Q(x1,y1)而运动,则先把x1,y1