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平衡问题:物体不受力或所受合外力为零,这是物体处于平衡的条
件。解决此类问题的方法很多,包括正交分解法、矢量三角形法、
相似三角形法、利用拉密定理……
矢量三角形:矢量合成的平行四边形定则可以用矢量三角形法则来
等效替代。把代表两个分矢量的有向线段首尾相连,则合矢量就从
第一个矢量的起点到第二个矢量的末端。
以此类推,若一个物体在三个共点力作用下处于平衡状态,则代表
三个力的有向线段必定构成封闭三角形。
利用矢量三角形法在处理三力平衡问题和两力的加速(减速)问题
时是非常方便的,像摩擦角这样四力动态平衡问题,用起来也很方
便!尤其是动态平衡中求极值的问题迅速得到解决,而且非常直观。
解决动态平衡的一般步骤如下:
①确定研究对象;
②分析对象状态和受力情况,画出示意图;
③将各力首尾相连,画出封闭的矢量三角形;
④根据题意,画出动态变化的边角关系;
⑤确认未知量变化情况。
一、两力作用下的动力学问题
例1、如图所示,固定的斜面A和放在斜面上的楔形木块B的倾角
均为θ=30°,已知斜面A的上表面和木块B的表面均光滑,木块B
的质量为M,上面放有质量为m的小球C,当用平行于斜面的力F
作用在木块上时,木块B和小球C保持相对静止,求推力F及木块
B对小球C的弹力的大小。
解析:解决动力学问题,先对物体进行受力分析。选择小球为研究
对象,小球受到重力和B对小球的支持力(两个力),作加速运动;
选择整体为研究对象,小球和木块受到重力,支持力和推力。
根据条件,小球和木块加速度相同,根据牛顿第二定律,解决此题
的关键是求出木块B和小球C保持相对静止时的加速度大小。
由于小球与木块相对静止,故小球C受到的合力方向必定和木块B
的加速度的方向相同(平行于斜面),即沿斜面向下。用三角形法
则作出小球受到的合力(N与G的箭头收尾相连,以便画出合力),
如图所示。
由于弹力N的方向与木块B的上表面垂直,因此弹力的方向与竖
直方向的夹角为60°,不难看出,矢量三角形为等边三角形,即
N=ma=mg,小球的加速度大小为g,以球和木块整体为对象,由牛
顿第二定律可知
解得推力的大小为:
二、三力作用下的动态平衡问题
例2、如图所示,光滑的小球静止在斜面和竖直放置的木板之间,
已知球重为G,斜面的倾角为θ,现使木板沿逆时针方向绕O点缓
慢转动,求小球对斜面和挡板的压力怎样变化?
解析:选择小球为研究对象,分析小球受力如图所示,小球受重力
G、挡板的支持力N1和斜面的支持力N2,小球在这三个力的作用
下处于平衡状态,这三个力可构成矢量三角形(如上图)。
挡板绕O点缓慢移动,小球处于动态平衡。因挡板对小球的支持
力N1(如图所示,红色箭头逆时针旋转)的方向与水平方向之间
的夹角由0°缓慢变大,重力的大小和方向都不变,斜面的支持力
N2的方向不变,由矢量三角形知斜面的支寺力N2必将变小,而挡
板的支持力N1将先变小后变大。
总结:
(1)第一个力大小方向都不变——重力G
(2)第二个力方向不变——斜面的支持力N2
(3)第三个力的方向在旋转,导致大小也变化——挡板的支持力
N1
(分别用蓝色和红色标出)
例3、如图所示,固定斜面的倾角为30°,斜面上的木块在水平力
作用下处于静止状态,不计斜面摩擦。现在不改变作用力的大小,
只改变作用力的方向,使木块仍然保持静止状态,则前后两种情况
下斜面对木块的弹力之比是多大?
解析:本题实为动态平衡问题,要求木块静止时等大的作用力,首
先应选择对象进行受力分析。
受力分析如图所示,设木块的质量为m,根据几何关系,初状态下
斜面对木块的弹力大小为
接下来如何寻找一个大小相同的力使物体依然静止呢?
在只改变作用力的方向、不改变作用力大小的情况下求斜面弹力
时,利用作矢量图的方法可以使问题迎刃而解。
画三角形,由于木块在共点的三个力作用下处于平衡状态,则这三
个力的矢量必构成一个矢量三角形。
此处物体的重力G大小、方向是确定的,斜面弹力N1的方向也是
确定的,根据几何关系,可作出前后两种情况下力的矢量图,如图
所示,F1与F2分别为改变前后的推力(F1与F2关于中的虚线是
对称的!),N1与N2分别是改变前后的支持力。
由于F2=F1,F2的方向斜向上与水平方向夹角为60°,有
故N1:N2=2:1。
例4、半径为R的球形物体固定在水平地面上,球心正上方有一光
滑的小滑轮,滑轮到球面B的距离为h,轻绳的一端系一小球,靠
放在半球上的A点,另一端绕过定滑轮后用力拉住,使小球静止,
如图
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