模块二大招2轴对称与中心对称(含答案解析）.docx

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大招2??轴对称与中心对称

函数的对称性是函数一个重要的性质，主要应用于函数对称性的判断、函数求值、函数零点和的问题，处理步骤如下：

（1）利用定义分析函数的对称性；

（2）利用函数的对称性解题（涉及零点问题，有时还需作出图形）.

其中，与函数对称性相关的结论如下：

1．轴对称相关结论：①函数的图象关于直线对称．

②函数的图象关于直线对称．

③函数的图象关于直线对称．

2．中心对称相关结论：①函数的图象关于点中心对称．

②函数的图象关于点中心对称．

③函数的图象关于点中心对称．

3．奇偶性的相关结论：①函数为偶函数的图象关于直线对称.

②函数为奇函数的图象关于点对称.

4．三次函数的对称性：对于一个三次函数来说，是函数图象的对称中心，其中满足方程（为函数的二阶导数）．

【典例1】（2023秋·辽宁丹东·高三期末）设函数，则（????）

A．是奇函数????B．是偶函数

C．的图象关于点中心对称????D．的图象关于直线轴对称

【大招指引】直接利用函数对称性的定义验证.

【答案】C

【解析】对于选项A：，则不是奇函数，故A错误；

对于选项B：，则不是偶函数，故B错误；

对于选项C：，故的图象关于点中心对称，故C正确；

对于选项D：，则的图象不关于直线轴对称，故D错误；

故选：C.

【题后反思】判断函数的对称性，一般直接通过函数的定义来进行，不要忽略对定义域的考查，函数定义域的对称性是函数具备对称的前题.

【举一反三】

1．已知函数的导函数为，且满足，则（????）

A．函数的图象关于点对称 B．函数的图象关于直线对称

C．函数的图象关于直线对称 D．函数的图象关于点对称

【典例2】已知是定义域为的函数，为奇函数，为偶函数，则有①为奇函数，②关于对称，③关于点对称，④，则上述推断正确的是（????）

A．②③????B．①④????C．②③④????D．①②④

【大招指引】当涉及到函数的奇偶性时，直接利用结论或者利用函数图象平移得到与函数相关的性质，从而作出判断，也可以寻找形似函数来进行判断.

【答案】D

【解析】解：（法一）因为为奇函数，所以关于对称，

又是上的奇函数，过，点，所以过，所以有；

又为偶函数，所以，所以关于对称；所以有，

又，所以，所以周期为4，

所以由，得，所以为奇函数，所以①②④正确.

（法二）举例：符合题意，再验证得到①②④正确.

故选：D.

【温馨提醒】1.当函数既有对称轴、又有对称中心，可以取为正弦型或余弦型函数来进行判断，化抽象函数为具体函数，直接明了；

2.若时，刑如函数的对称性问题，再利用定义得到等式后，一般借助换元法将函数的对称性转化为函数的对称性，进而进行分析判断.

【举一反三】

2．已知是定义在R上的函数，且满足为偶函数，为奇函数，则下列说法一定正确的是（????）．

A．函数的图象关于直线对称 B．函数的周期为2

C．函数关于点中心对称 D．

（2023秋·辽宁锦州·高三期末）

【典例3】已知函数对任意实数，都满足，且，则（????）

A．是偶函数????B．是奇函数

C．????D．

【大招指引】本题中的函数不是具体函数，可以利用对称性的定义或具体函数来进行判断.

【答案】AC

【解析】在中，

令，可得，即，解得，故B错误；

令可得,即，

故函数是偶函数，即是偶函数,故A正确；

令，则，故，

令，可得,

故，故C正确；

因为是偶函数，所以，故,

即，

所以,所以，故函数的周期为2，

因为，，所以，.

所以，故D错误.

故选：AC.

【题后反思】对于抽象函数的对称性问题，一般可以利用函数对称性的定义或者具体的形似函数来分析，一些常见的形似函数如下：

①，可取，其中；

②，可取（且）；

③，可取（且）；

④，可取；

⑤，可取.

【举一反三】

3．已知的定义域为，且对任意、，有，且当时，，则以下结论正确的个数是（????）

①；②的图象关于点中心对称；

③在上单调；④当时，.

A． B． C． D．

【典例4】已知函数，若，，则___________.

【大招指引】三次函数的对称中心，可以通过求出的对称轴可得的对称中心为，再证明，即可得到答案.

【答案】2

【解析】解：因为，对称轴为，

所以的对称中心为，即，

因为，所以在R上单调递增，

所以方程，的解均有且只有一个，

因为，所以，关于对称中心对称，

所以，

故答案为：2

【题后反思】三次函数的对称中心，可通过求函数的对称轴，来得出函数对称中心的横坐标，再代入函数的解析式而得到.

【举一反三】

4．已知函数图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，则函数图象的对称中心是（????）

A．