人教A版高中同步训练数学选择性必修第二册精品课件 第四章 数列 4.3.1 第2课时 等比数列的性质.ppt

4.3.1等比数列的概念第2课时等比数列的性质

课前·基础认知课堂·重难突破素养·目标定位随堂训练

素养?目标定位

目标素养1.掌握等比数列的性质及其应用.通过等比数列性质的学习,提升逻辑推理素养.2.熟练掌握等比数列与等差数列的综合应用.提升数学运算素养.3.能够熟练应用等比数列知识解决生活中的实际问题,提升数学建模素养.

知识概览

课前·基础认知

等比数列的性质(1)一般地,已知{an}是等比数列,若正整数s,t,p,q满足s+t=p+q,则asat=apaq.?(2)对有穷等比数列,与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积,即a1·an=a2·an-1=…=ak·an-k+1=….?

(4)当m,n,p(m,n,p∈N*)成等差数列时,am,an,ap成等比数列.(5)“子数列”性质对于无穷等比数列{an},若将其前k项去掉,剩余各项仍为等比数列,首项为ak+1,公比为q;若取出所有的k的倍数项,组成的数列仍为等比数列,首项为ak,公比为qk.?

微思考已知等比数列{an}的前4项为1,2,4,8,判断下列说法是否正确.(1){3an}是等比数列;(2){3+an}是等比数列;(4){a2n}是等比数列.提示:由定义可判断出(1),(3),(4)正确.

微训练(1)由公比为q的等比数列a1,a2,…依次相邻两项的乘积组成的数列a1a2,a2a3,a3a4,…是()A.等差数列B.以q为公比的等比数列C.以q2为公比的等比数列D.以2q为公比的等比数列(2)等比数列{an}中,若a4=4,则a2a6等于()A.4 B.8 C.16 D.32答案:(1)C(2)C

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课堂·重难突破

一等比数列性质的应用典例剖析

(2)已知数列{an}是等比数列,a3+a7=20,a1a9=64,求a11的值.解:设等比数列{an}的公比为q,∵{an}为等比数列,∴a1a9=a3a7=64.又a3+a7=20,∴a3,a7是方程t2-20t+64=0的两个根,∴a3=4,a7=16或a3=16,a7=4.

①当a3=4,a7=16时,

规律总结有关等比数列的计算问题,基本方法是运用方程思想列出关于基本量a1和q的方程组,先解出a1和q,再利用通项公式求解,但有时运算稍烦琐,而利用等比数列的性质解题,却简便快捷,为了发现性质,要充分发挥项的“下标”的指导作用.

学以致用1.(1)已知各项均为正数的等比数列{an}中,a1a2a3=5,a7a8a9=10,则a4a5a6等于()(2)在等比数列{an}中,a2,a16是方程x2+6x+2=0的两个根,则的值为()AD

(方法二)由等比数列的性质知a1a2a3,a4a5a6,a7a8a9构成等比数列,所以(a1a2a3)·(a7a8a9)=(a4a5a6)2,

(2)在等比数列{an}中,因为a2,a16是方程x2+6x+2=0的两个根,所以a2·a16=2.

二灵活设元求解等比数列问题典例剖析2.有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,并且第一个数与第四个数的和是16,第二个数与第三个数的和是12,求这四个数.

当a=4,d=4时,所求的四个数为0,4,8,16;当a=9,d=-6时,所求的四个数为15,9,3,1.故所求的四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.

当a=8,q=2时,所求的四个数为0,4,8,16;当a=3,q=时,所求的四个数为15,9,3,1.故所求的四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.

规律总结几个数成等比数列的设法(3)四个数成等比数列,不能确定它们的符号相同时,可设为a,aq,aq2,aq3.

学以致用2.(1)若有四个数成等比数列,将这四个数分别减去1,1,4,13后成等差数列,则这四个数的和是.?答案:45

解析:设这四个数分别为a,aq,aq2,aq3,则a-1,aq-1,aq2-4,aq3-13成等差数列,因此这四个数分别是3,6,12,24,其和为45.

(2)有四个实数,前三个数成等比数列,且它们的乘积为216,后三个数成等差数列,且它们之和为12,求这四个数.故所求的四个数为9,6,4,2.

(方法二)设后三个数为a-d,a,a+d,则a-d+a+a+d=12,解得a=4,故所求的四个数为9,6,4,2.

三等比数列的实际应用典例剖析3.某工厂今年1月的生产总值为a万元,如果计划从今年2月起,每月生产总值比上一个月增长m%,那么到明年8月底,该厂的月生产总值为多少万元?

解:设从今年1月开始,第n个月该厂的生产总值是an万元,即数列{an}是首项a1=a,公比q=1+