人教A版高中同步训练数学选择性必修第二册精品课件 第四章 数列 章 末核心素养整合.ppt

章末核心素养整合;专题归纳突破;知识体系构建;专题归纳突破;专题一等差(比)数列的基本运算;【典型例题1】在等比数列{an}中,已知a1=2,a4=16.

(1)求数列{an}的通项公式;

(2)若a3,a5分别为等差数列{bn}的第3项和第5项,试求数列{bn}的通项公式及前n项和Sn.

解:(1)设等比数列{an}的公比为q,

由已知得16=2q3,解得q=2,故an=2×2n-1=2n.;(2)由(1)得a3=8,a5=32,则b3=8,b5=32.

设等差数列{bn}的公差为d,;规律方法在等差数列和等比数列的通项公式与前n项和公式Sn中,利用方程的思想求出需要的量,当然在求解中若能运用等差(比)数列的性质会更好,这样可以化繁为简,减少运算量,同时还要注意整体代入思想方法的运用.;专题二求数列的通项公式;(2)已知数列{an}中,an+1=3an+4,且a1=1,求数列{an}的通项公式.

解:(方法一)由题意得an=3an-1+4=3(3an-2+4)+4

=32an-2+3×4+4=33an-3+32×4+3×4+4

=…=3n-1a1+3n-2×4+3n-3×4+…+3×4+4;(方法二)∵an+1=3an+4,∴an+1+2=3(an+2).

令bn=an+2,∵b1=a1+2=3,

∴数列{bn}是首项为3,公比为3的等比数列,则bn=3n,

∴an=3n-2.

(方法三)∵an+1=3an+4,①∴an=3an-1+4(n≥2).②

①-②,得an+1-an=3(an-an-1)(n≥2).

∵a2-a1=3+4-1=6,∴数列{an+1-an}是首项为6,公比为3的等比数列,即an+1-an=6×3n-1=2×3n,利用累加法得an=3n-2.;规律方法1.定义法.

直接利用等差数列或等比数列的定义求通项公式,这种方法适用于已知数列类型的题目.

2.已知Sn求an.

若已知数列的前n项和Sn与an的关系,则求数列{an}的通项公式可用公式an=求解.;3.由递推公式求数列通项公式法.

(1)已知形如“an+1=can+d”的递推公式,一般利用待定系数法把关系式转化为等比数列求an.;专题三等差(比)数列的判定;【典型例题3】已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,Sn+1=4an+2.

(1)若bn=an+1-2an,求证:{bn}是等比数列.;证明:(1)an+2=Sn+2-Sn+1=4an+1+2-4an-2=4an+1-4an.;规律方法等差数列、等比数列的判断方法

(1)定义法:an+1-an=d(常数)?{an}是等差数列;=q(q为常数,q≠0)?{an}是等比数列.

(2)中项法:2an+1=an+an+2?{an}是等差数列;

=an·an+2(an≠0)?{an}是等比数列.

(3)通项公式法:an=kn+b(k,b是常数)?{an}是等差数列;an=c·qn(c,q为非零常数)?{an}是等比数列.

(4)前n项和公式法:Sn=An2+Bn(A,B为常数)?{an}是等差数列;Sn=Aqn-A(A,q为常数,且A≠0,q≠0,q≠1)?{an}是等比数列.;特别提醒:①前两种方法是判定等差数列、等比数列的常用方法,而后两种方法常用于选择、填空题中的判定.②若要判定一个数列不是等差(比)数列,则只需判定其任意的连续三项不成等差(比)即可.;专题四数列求和;∴an+1=an+1.

又a1=1,∴数列{an}是首项为1,公差为1的等差数列,

∴an=1+(n-1)=n.

∵Sn=2-bn,∴Sn+1=2-bn+1,;规律方法数列求和问题一般转化为等差数列或等比数列的前n项和问题或已知公式的数列求和,不能转化的再根据数列通项公式的特点选择恰当的方法求解.一般常见的求和方法如下.

(1)公式法:利用等差数列或等比数列前n项和公式.

(2)分组求和法:把一个数列分成几个可以直接求和的数列.

(3)裂项相消法:把一个数列的通项公式分成两项差的形式,相加过程消去中间项,只剩有限项再求和.;(4)错位相减法:适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和.

(5)倒序相加法:例如等差数列前n项和公式的推导.;专题五思想方法专题;解:设数列{an}的公差为d,数列{bn}的公比为q,且d为正整数,

an=3+(n-1)d,bn=qn-1.;2.函数思想

数列可以看作是定义域为正整数集(或其有限子集)的特殊函数.运用函数思想去研究数列,就是要借助于函数的单调性、图象和最值等知识解决与数列相关的问题.等差数列与一次函数、等比数列与指数函数有着密切的关系,等差数列的