人教A版高中同步训练数学选择性必修第二册精品课件 第五章 一元函数的导数及其应用 5.3.2 第2课时 函数的最大(小)值.ppt

5.3.2函数的极值与最大(小)值

第2课时函数的最大(小)值;课前·基础认知;素养?目标定位;;;课前·基础认知;1.函数最值的概念

如果在函数f(x)的定义域I内存在一点x0,使得对任意的x∈I,总有f(x)≤f(x0),那么称f(x0)为函数f(x)在定义域I内的最大值.?

如果在函数f(x)的定义域I内存在一点x0,使得对任意的x∈I,总有f(x)≥f(x0),那么称f(x0)为函数f(x)在定义域I内的最小值.?;微思考1函数在一个闭区间上若存在最值,则最值是否可以有多个?极值是否也可以有多个?区间端点是否可以是极值点和最值点呢?

提示:函数在一个闭区间上若存在最值,则最大(小)值只能有一个;而极大(小)值可能不止一个,也可能没有.如常数函数没有极值.函数的极值点不可能是区间的端点,而最值点可以是区间的端点.;2.求函数的最值

求函数y=f(x)在区间[a,b]上的最大值与最小值的步骤:

(1)求函数y=f(x)在区间(a,b)内的极值;

(2)将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.?

微思考2函数在开区间(a,b)内一定有最值吗?

提示:在开区间(a,b)内连续的函数不一定有最大值与最小值.若函数f(x)在开区间I内只有一个极值,且是极大(小)值,则这个极大(小)值就是函数f(x)在区间I内的最大(小)值.;课堂·重难突破;一求不含参数的函数的最值;解:(1)f(x)=-4x3+4x=-4x(x+1)(x-1),

令f(x)=0,得x1=-1,x2=0,x3=1.

当x变化时,f(x)及f(x)的变化情况如下表:;(2)f(x)=3x2-6x+6=3(x2-2x+2)=3(x-1)2+3,

∵f(x)在区间[-1,1]上恒大于0,

∴f(x)在区间[-1,1]上为增函数.

故当x=-1时,f(x)取得最小值,且f(x)最小值=-12;

当x=1时,f(x)取得最大值,且f(x)最大值=2.;规律总结求解函数在闭区间上的最值,需注意以下几点

(1)对函数进行准确求导,并检验f(x)=0的根是否在给定区间内.

(2)研究函数的单调性,正确确定极值和端点函数值.

(3)比较极值与端点函数值的大小,确定最值.;学以致用

1.求下列各函数的最值:

(1)f(x)=3x3-9x+5,x∈[-2,2];;解:(1)f(x)=9x2-9=9(x+1)(x-1),令f(x)=0,得x=-1或x=1.

当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表.;二含参数的函数的最值问题;解:由题意,得g(x)=f(x)=ex-2ax-b,

则g(x)=ex-2a,因为x∈[0,1],所以1≤ex≤e.

若a≤,则2a≤1,g(x)=ex-2a≥0,

所以函数g(x)在区间[0,1]上单调递增,

所以g(x)min=g(0)=1-b;

若,则12ae,于是当0xln(2a)时,g(x)=ex-2a0,当ln(2a)x1时,g(x)=ex-2a0,所以函数g(x)在区间[0,ln(2a)]上单调递减,在区间[ln(2a),1]上单调递增,所以在区间[0,1]上,g(x)min=g(ln(2a))=2a-2aln(2a)-b;;所以函数g(x)在区间[0,1]上单调递减,

所以g(x)min=g(1)=e-2a-b.;规律总结对参数进行讨论,其实质是讨论导函数大于0、等于0、小于0三种情况.若导函数大于(小于)0且不恒等于0,则函数在已知区间上是单调函数,最值在端点处取得;若导函数可能等于0,且在零点两侧导函数值异号,则求出极值点后求极值,再与端点值比较后确定最值.;学以致用

2.设函数f(x)=1+(1+a)x-x2-x3,其中a0.

(1)讨论f(x)在其定义域上的单调性;

(2)当x∈[0,1]时,求f(x)取得最大值和最小值时的x的值.;解:(1)f(x)的定义域为R,f(x)=1+a-2x-3x2.;(2)因为a0,所以x10,x20.

①当a≥4时,x2≥1.由(1)知,f(x)在区间[0,1]上单调递增,

所以f(x)在x=0和x=1处分别取得最小值和最大值.

②当0a4时,x21.由(1)知,f(x)在区间[0,x2]上单调递增,在区间[x2,1]上单调递减,;三与最值有关的恒成立问题;解:(1)f(x)=3x2+2ax+b,;要使f(x)c2(x∈[-1,2])恒成立,只需c22+c,解得c-1或c2.

故c的取值范围为(-∞,-1)∪(2,+∞).;互动探究

1.(变条件)若把(2)中“对x∈[-1,2],不等式f(x)c2恒成立”改为“若存在x∈[-1,2],不等式f(x)c2成立”