人教A版高中同步训练数学选择性必修第二册精品课件 第五章 一元函数的导数及其应用 5.3.2 第3课时 导数在解决实际问题中的应用.ppt

5.3.2函数的极值与最大(小)值

第3课时导数在解决实际问题中的应用;课前·基础认知;素养?目标定位;;;课前·基础认知;生活中的优化问题

(1)生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题,这些问题通常称为优化问题.?

(2)利用导数解决优化问题的实质是求函数最值.?

(3)解决优化问题的基本思路:

上述解决优化问题的过程是一个典型的数学建模过程.;微思考优化问题的常见类型有哪些?

提示:费用最省问题,利润最大问题,面积、容积最大问题等.;课堂·重难突破;一利润最大问题;f(x)=10[(x-6)2+2(x-3)(x-6)]=30(x-4)(x-6).

当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表.;x;规律总结

解此类问题需注意两点:

(1)价格要大于或等于成本,否则就会亏本;

(2)销量要大于0,否则不会获利.;学以致用

1.某工厂生产某种产品,已知该产品的月生产量x(单位:吨)与产品的价格p(单位:元/吨)之间的函数关系式为p=24200-

x2,且生产x吨产品的成本为R=50000+200x.问:该厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大?最大利润是多少?

解:依题意知,每月生产x(x0)吨产品时的利润为;令f(x)=0,得x1=200,x2=-200(舍去).

∵在区间(0,+∞)内只有一个极值点x=200,

且x=200是极大值点,

∴200就是函数f(x)的最大值点,

且最大值为f(200)=-×2003+24000×200-50000

=3150000(元).

故每月生产200吨产品时,利润达到最大,最大利润为315万元.;二面积、容积的最值问题;解:设矩形的另一边长为x,又半圆弧长为πr,

∴πr+2r+2x=10,;规律总结在解决面积、容积的最值问题时,要正确引入变量,将面积或容积表示为关于变量的函数,结合使实际问题有意义的变量的范围,利用导数求函数的最值.;学以致用

2.如图,将一个矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN.要求B在AM上,D在AN上,且对角线MN过点C,|AB|=3m,|AD|=2m.

(1)要使矩形AMPN的面积大于32m2,

则AN的长应在什么范围内?

(2)当AN的长度是多少时,矩形AMPN的

面积最小?并求出最小面积.

(3)若AN的长度不少于6m,则当AN的长度是多少时,矩形AMPN的面积最小?并求出最小面积.;解:设AN的长为xm(x2),;(2)设S矩形AMPN=y,;三成本最省问题;规律总结解决成本最省问题,要找准各变量之间的关系,正确列出函数??系式,并根据实际确定自变量的取值范围,然后利用导数求最值.其中把实际问题转化为数学问题,正确列出函数关系式是解决问题的关键.;学以致用

3.已知工厂A到铁路的垂直距离为20km,垂足为B,铁路线上距离B处100km的地方有一个原料供应站C,现在要从BC段上的D处向工厂A修一条公路,使得从原料供应站C到工厂A所需的运费最省,已知每千米的铁路运费与公路运费之比为3∶5,则点D应选在何处?;解得x=15(x=-15舍去).

当0≤x15时,y0,当15x≤100时,y0,

故当x=15时,y取得最小值,

因而点D应选在距点B15km处.;随堂训练;1.某工厂要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场,一边可以利用原有的墙壁,其他三边需要砌新的墙壁,若要使砌墙壁所用的材料最省,堆料场的长和宽应分别为(单位:米)()

A.32,16 B.30,15

C.40,20 D.36,18

答案:A;2.某公司生产一种产品,固定成本为20000元,每生产一单位的产品,成本增加100元.若总收入R与年产量x的关系是R(x)=

则当总利润P(x)最大时,每年生产产品的单位数是()

A.150 B.200

C.250 D.300

答案:D;解析:由题意得,总利润;3.内接于半径为R的半圆且周长最大的矩形的宽和长分别为

();4.已知某生产厂家的年利润y(单位:万元)与年产量x(单位:万件)之间的关系为y=-x3+81x-234,则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为()

A.13万件 B.11万件

C.9万件 D.7万件

答案:C;解析:∵y=-x3+81x-234,x∈[0,+∞),

∴y=-x2+81,令y=-x2+810,解得0x9;

令y=-x2+810,解得x9,

则函数y=-x3+81x-234在区间(0,9)内单调递增,在区间(9,+∞)内单调递减,故年利润y在x=9处