人教A版高中同步训练数学选择性必修第二册精品课件 第五章 一元函数的导数及其应用 章 末核心素养整合.ppt

章末核心素养整合

专题归纳突破知识体系构建

知识体系构建

专题归纳突破

专题一导数的几何意义利用导数的几何意义求切线方程时,关键是搞清所给的点是不是切点,常见类型有两种:(1)“函数y=f(x)的图象在点(x0,f(x0))处的切线方程”,这种类型中(x0,f(x0))是切点,其切线方程为y-f(x0)=f(x0)(x-x0).

(2)“函数y=f(x)的图象过点P(x0,y0)的切线方程”,这种类型中,该点不一定是切点,可先设切点Q(x1,y1),则切线斜率为f(x1),再由切线过点P(x0,y0)得切线斜率为,于是f(x1)=①,又y1=f(x1)②,由方程①②可求得切点Q(x1,y1),于是可求出过点P(x0,y0)的切线方程.

【典型例题1】已知函数f(x)=ax3+3x2-6ax-11,g(x)=3x2+6x+12,直线m:y=kx+9,且f(-1)=0.(1)求a的值;(2)是否存在实数k,使直线m既是曲线y=f(x)的切线,又是曲线y=g(x)的切线?如果存在,求出k的值;如果不存在,请说明理由.

解:(1)因为f(x)=3ax2+6x-6a,且f(-1)=0,所以3a-6-6a=0,得a=-2.当x0=1时,g(1)=12,切点坐标为(1,21),所以切线方程为y=12x+9;当x0=-1时,g(-1)=0,切点坐标为(-1,9),所以切线方程为y=9.

下面求曲线y=f(x)的斜率为12和0的切线方程:因为f(x)=-2x3+3x2+12x-11,所以f(x)=-6x2+6x+12.由f(x)=12,得-6x2+6x+12=12,解得x=0或x=1.当x=0时,f(0)=-11,此时切线方程为y=12x-11;当x=1时,f(1)=2,此时切线方程为y=12x-10.所以y=12x+9不是公切线.由f(x)=0,得-6x2+6x+12=0,解得x=-1或x=2.当x=-1时,f(-1)=-18,此时切线方程为y=-18;当x=2时,f(2)=9,此时切线方程为y=9,所以直线y=9是公切线.综上所述,当k=0时,直线y=9是两曲线的公切线.

规律方法此题直线m恒过点(0,9)是解题的突破口,即若直线m是曲线y=f(x),y=g(x)的公切线,则切线必过点(0,9).一般说来,求过定点的两曲线公切线的一般思路是:先求出过定点的一曲线的切线方程,再令斜率值与另一曲线对应函数的导数相等,求出可能的切点,得出对应切线方程.若两条直线方程相同,则为公切线;若不同,则不存在公切线.当然,也可能会存在切线斜率不存在的情况.

专题二利用导数研究函数的单调性在某个区间(a,b)上,如果f(x)0,则f(x)在这个区间内单调递增;如果f(x)0,则f(x)在这个区间内单调递减.应注意:在区间内f(x)0(或f(x)0)是f(x)在这个区间内单调递增(或单调递减)的充分条件,而不是必要条件.如果f(x)在某个区间内单调递增,那么f(x)≥0;如果f(x)在某个区间内单调递减,那么f(x)≤0.

利用导数研究函数单调性的步骤为:(1)求f(x);(2)解不等式f(x)0或f(x)0;(3)确定并指出函数的单调递增区间、单调递减区间.

【典型例题2】设函数f(x)=ax2-a-lnx,g(x)=,其中a∈R,e=2.718…为自然对数的底数.(1)讨论f(x)的单调性;(2)证明:当x1时,g(x)0.

(2)证明:令s(x)=ex-1-x,则s(x)=ex-1-1.当x1时,s(x)0,s(x)在区间(1,+∞)内单调递增,得s(x)s(1),即ex-1x,规律方法1.利用导数求函数的单调区间,也就是求函数定义域内不等式f(x)0或f(x)0的解集.2.已知函数在某个区间上单调,求参数问题,通常是转化为恒成立问题.

专题三利用导数研究函数的极值、最值由函数的解析式能求出函数的极值和最值,反过来由函数的极值或最值也能求出参数的值或取值范围.另外,这部分内容可能会和恒成立问题、有解等问题联系到一起考查.

【典型例题3】已知函数f(x)=x3+ax2+b的图象上一点P(1,0),且f(x)的图象在点P处的切线与直线3x+y=0平行.(1)求函数f(x)的解析式;(2)求函数f(x)在区间[0,t](0t3)上的最大值和最小值;(3)若关于x的方程f(x)=c在区间[1,3]上恰有两个相异的实根,求实数c的取值范围.

解:(1)因为f(x)=3x2+2ax,所以函数f(x)的图象在点P(1,0)处的切线斜率为f(1)=3+2a,则3+2a=-3,解得a=-3.又函数f(x)的图象过点P(1,0),所以-2+b=0,b=2.所以f(x)=x3-3