人教A版高中同步训练数学选择性必修第三册精品课件 第6章 计数原理 6.3.2 二项式系数的性质.ppt

6.3.2二项式系数的性质

课前·基础认知课堂·重难突破

课前·基础认知

1.从函数的观点分析二项式系数2.二项式系数的性质(1)对称性

(2)增减性与最大值

微思考二项展开式中系数最大的项与二项式系数最大的项相同吗?提示:系数最大的项不一定是二项式系数最大的项,只有当二项式系数与各项系数相等时,两者才一致.

答案:4,5

课堂·重难突破

一求展开式的系数和典例剖析1.已知(2x-1)5=a0x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5.求:(1)a5;(2)a0+a1+a2+…+a5;(3)|a0|+|a1|+|a2|+…+|a5|;(4)a1+a3+a5;(5)a0+a2+a4.

解:(1)令x=0,a5=-1.(2)令x=1,得a0+a1+a2+…+a5=1.(3)令x=-1,得-35=-a0+a1-a2+a3-a4+a5.因此|a0|+|a1|+|a2|+…+|a5|=a0-a1+a2-a3+a4-a5=35=243.(4)由a0+a1+a2+…+a5=1,-a0+a1-a2+…+a5=-35,得2(a1+a3+a5)=1-35.

(5)a0+a1+a2+…+a5=1,-a0+a1-a2+…+a5=-35,

互动探究(变问法)求:(1)a1+a2+a3+a4+a5;(2)5a0+4a1+3a2+2a3+a4.解:(1)因为a0是(2x-1)5展开式中x5的系数,所以a0=25=32.又a0+a1+a2+…+a5=1,所以a1+a2+a3+a4+a5=-31.(2)因为(2x-1)5=a0x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5,所以两边求导数得10(2x-1)4=5a0x4+4a1x3+3a2x2+2a3x+a4.令x=1,得5a0+4a1+3a2+2a3+a4=10.

规律总结1.解决二项式系数和问题的思维流程.

2.对形如(ax+b)n,(ax2+bx+c)m(a,b,c∈R,m,n∈N*)的式子求其展开式的各项系数之和,常用赋值法,只需令x=1即可;对(ax+by)n(a,b∈R,n∈N*)的式子求其展开式各项系数之和,只需令x=y=1即可.3.一般地,若f(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn,则f(x)展开式中各项系数之和为f(1),a0=f(0),

学以致用1.在(2x-3y)9的展开式中,求:(1)二项式系数之和;(2)各项系数之和;(3)所有奇数项系数之和.解:设(2x-3y)9=a0x9+a1x8y+a2x7y2+…+a9y9.(2)各项系数之和为a0+a1+a2+…+a9,令x=1,y=1,得a0+a1+a2+…+a9=(2-3)9=-1.

(3)令x=1,y=-1,可得a0-a1+a2-…-a9=59,①又a0+a1+a2+…+a9=-1,②即所有奇数项系数之和为976562.

二求展开式中系数或二项式系数最大的项典例剖析2.已知(+3x2)n的展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992.(1)求展开式中二项式系数最大的项;(2)求展开式中系数最大的项.

解:令x=1,则展开式的各项系数的和为(1+3)n=4n,又展开式中各项的二项式系数和为2n,由题意知,4n-2n=992.∴(2n)2-2n-992=0,∴(2n+31)(2n-32)=0,∴2n=-31(舍去)或2n=32,∴n=5.

规律总结1.求二项式系数的最大项,根据二项式系数的性质对(a+b)n中的n进行讨论.(1)当n为奇数时,中间两项的二项式系数最大.(2)当n为偶数时,中间一项的二项式系数最大.

2.展开式中系数的最大项的求法,求展开式中系数的最大项与求二项式系数最大项是不同的,需要根据各项系数的正、负变化情况进行分析.如求(a+bx)n(a,b∈R)的展开式中系数的最大项,一般采用待定系数法.设展开式中各项系数分别为A0,A1,A2,…,An,且第(k+1)项最大,应用解出k,即得出系数的最大项.

学以致用2.在(x-y)11的展开式中,求:(1)二项式系数最大的项;(2)项的系数绝对值最大的项;(3)项的系数最大的项和系数最小的项.解:(1)二项式系数最大的项为中间两项:

(2)∵(x-y)11展开式的通项为(3)由(2)知中间两项系数绝对值相等,又第6项系数为负,第7项系数为正,

三整除及余数问题典例剖析3.(1)用二项式定理证明:1110-1能被100整除;(2)求9192被100除所得的余数.

前91项均能被100整除,后两项和为-919.因为余数为正,所以可从前面的数中分离出1000,结果为1000-919=81,故9192被100除可得余数为81.

规律总结利用二项式定理可以解决余数和整除问题