人教A版高中同步训练数学选择性必修第一册精品课件 第3章 圆锥曲线的方程 3.3.2 抛物线的简单几何性质.ppt

3.3.2抛物线的简单几何性质;课前·基础认知;课前·基础认知;1.抛物线的几何性质;微思考1(1)从对称性、顶点个数、焦点个数、离心率等方面分析,抛物线与椭圆、双曲线的几何性质有哪些差异?

提示:抛物线与椭圆、双曲线的几何性质有以下差异:

①对称性:椭圆与双曲线都既是轴对称图形也是中心对称图形,但抛物线只是轴对称图形,不是中心对称图形;

②顶点个数:椭圆有4个顶点,双曲线有2个顶点,而抛物线只有1个顶点;

③焦点个数:椭圆和双曲线都有2个焦点,但抛物线只有1个焦点;

④离心率:椭圆的离心率满足0e1,双曲线的离心率满足e1,而抛物线的离心率是一个定值,恒等于1.;(2)抛物线的焦点、顶点、准线、对称轴之间的相对位置关系如何?

提示:抛物线的焦点始终在对称轴上,抛物线的顶点就是抛物线与对称轴的交点,抛物线的准线始终与对称轴垂直,抛物线的准线与对称轴的交点和焦点关于抛物线的顶点对称.;2.直线与抛物线的位置关系

直线与抛物线的位置关系有三种:相离、相切、相交.?

微思考2怎样判断直线与抛物线的位置关系?

提示:将直线方程与抛物线方程联立组成方程组,消去y(或x)得到一个关于x(或y)的方程.

(1)若得到的方程为一次方程,则直线与抛物线相交,只有一个公共点,此时直线与抛物线的对称轴平行;

(2)若得到的方程为一元二次方程,则Δ0?直线与抛物线相离;Δ=0?直线与抛物线相切;Δ0?直线与抛物线相交.;3.抛物线的焦半径与焦点弦

(1)焦半径:连接抛物线上一点A(x0,y0)与焦点F得到的线段AF叫做焦半径,焦半径AF的长度如下:;(2)焦点弦的概念:过抛物线焦点的直线与抛物线相交所得的线段,称为抛物线的焦点弦.

(3)通径:过抛物线焦点且垂直于对称轴的直线与抛物线相交所得的弦,称为抛物线的通径,抛物线的通径长为2p,是所有焦点弦中长度最短的弦.;微训练已知过抛物线y2=4x的焦点F作直线交抛物线于点A(x1,y1),B(x2,y2),若x1+x2=6,则|AB|的值为()

A.10 B.8 C.6 D.4

答案:B

解析:因为y2=4x,所以2p=4,p=2.

由抛物线的定义知|AF|=x1+1,|BF|=x2+1,

故|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+2=6+2=8.;课堂·重难突破;一抛物线几何性质的应用;解析:(1)顶点在原点,对称轴为y轴的抛物线方程为x2=-2py或x2=2py,p0.由顶点到准线的距离为4知p=8,故所求抛物线方程为x2=16y或x2=-16y.

(2)由于△AOB是等边三角形,所以|OA|=|OB|,由抛物线的对称性可知点A,B关于x轴对称,于是∠AOx=∠BOx=30°.

若设A(x0,y0)(x00,y00),;学以致用

1.(1)已知以x轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与对称轴垂直的弦)长为8,若抛物线的顶点在坐标原点,则抛物线的方程为()

A.y2=8x B.y2=-8x

C.y2=8x或y2=-8x D.x2=8y或x2=-8y

(2)已知面积为16的等腰直角三角形POQ内接于抛物线y2=2px(p0),O为坐标原点,且为直角顶点,则抛物线的方程为.?

答案:(1)C(2)y2=4x;解析:(1)设抛物线的方程为y2=2px(p≠0),

将代入y2=2px得y=±p,依题意得|2p|=8,则|p|=4.

∴抛物线的方程为y2=8x或y2=-8x.

(2)由已知得|OP|=|OQ|,∠POQ=90°,

因此∠POx=∠QOx=45°,

若设P(x0,y0)(x00,y00),则x0=y0,

于是有,解得x0=4,y0=4,

因此有42=2p·4,解得2p=4,故抛物线的方程为y2=4x.;二直线与抛物线的位置关系;互动探究

(变条件,变问法)已知直线l:y=kx+1与抛物线C:y2=4x有两个公共点,求k的取值范围.;直线l与抛物线C只有一个公共点,不符合题意;

当k≠0时,(*)式是一个一元二次方程,Δ=(2k-4)2-4k2=16(1-k).

当Δ0,即k1,且k≠0时,直线l与抛物线C有两个公共点,此时直线l与抛物线C相交.

所以,k的取值范围为(-∞,0)∪(0,1).;规律总结1.解决直线与抛物线位置关系的问题时,主要利用代数法,即将直线方程与抛物线方程联立,通过方程组解的个数情况判断位置关系.

2.直线与抛物线相交时,弦长的求法类似于椭圆、双曲线的情况,弦长公式仍然成立.

3.解决抛物线中点弦问题,“点差法”仍然适用.;学以致用

2.已知直线y=2x+4与抛物线y=x2交于A,B两点,O为坐标原点,则△ABO的面积为();三抛物线的焦点弦;解:设