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一次函数的综合应用

【知识点拨】

在现实社会的生产生活中，营销策略、方案设计、工程与行程等实际问题中，往往需要运用一次函

数的知识解决问题，这里关键是根据图象与表格等建立一次函数模型，结合方程与方程组，不等式与不

等式组等知识使问题得到解决.

【例题精讲】

一、一次函数的数学应用

例1：已知点A（3，4），点B为直线x=﹣1上的动点，设B（﹣1，y）．

（1）如图1，若点C（x，0）且﹣1＜x＜3，BC⊥AC，求y与x之间的函数关系式；

（2）在（1）的条件下，y是否有最大值？若有，请求出最大值；若没有，请说明理由；

（3）如图2，当点B的坐标为（﹣1，1）时，在x轴上另取两点E，F，且EF=1．线段EF在x轴上平

移，线段EF平移至何处时，四边形ABEF的周长最小？求出此时点E的坐标．

【变式训练】

1．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：y=x与直线l：y=﹣x+6相交于点M，直线l与x

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轴相交于点N．

（1）求M，N的坐标．

（2）矩形ABCD中，已知AB=1，BC=2，边AB在x轴上，矩形ABCD沿x轴自左向右以每秒1个

单位长度的速度移动，设矩形ABCD与△OMN的重叠部分的面积为S，移动的时间为t（从点B与点

O重合时开始计时，到点A与点N重合时计时开始结束）．直接写出S与自变量t之间的函数关系式（不

需要给出解答过程）．

（3）在（2）的条件下，当t为何值时，S的值最大？并求出最大值．

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2．如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC的边OC、OA分别与x轴、y轴重合，AB∥OC，

∠AOC=90°，∠BCO=45°，BC=12，点C的坐标为（﹣18，0）．

（1）求点B的坐标；

（2）若直线DE交梯形对角线BO于点D，交y轴于点E，且OE=4，OD=2BD，求直线DE的解析式；

（3）若点P是（2）中直线DE上的一个动点，在坐标平面内是否存在点Q，使以O、E、P、Q为顶点

的四边形是菱形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

3.如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴，y轴于A，B两点，点C为OB的中点，点

D在第二象限，且四边形AOCD为矩形．

（1）直接写出点A，B的坐标，并求直线AB与CD交点的坐标；

（2）动点P从点C出发，沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动；同时，动点M从点

A出发，沿线段AB以每秒个单位长度的速度向终点B运动，过点P作PH⊥OA，垂足为H，连接

MP，MH．设点P的运动时间为t秒．

①若△MPH与矩形AOCD重合部分的面积为1，求t的值；

②点Q是点B关于点A的对称点，问BP+PH+HQ是否有最小值？如果有，求出相应的点P的坐标；

如果没有，请说明理由．

二、一次函数的实际应用

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例2：为了促进节能减排，倡导节约用电，某市将实行居民生活用电阶梯电价方案，图中折线反映了每

户每月用电电费y（元）与用电量x（度）间的函数关系式．

（1）根据图象，阶梯电价方案分为三个档次，填写下表：

档次第一档第二档第三档

每月用电量x（度）0＜x≤140