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第7讲一元二次方程

知识

知识回顾

1．一元二次方程：在整式方程中，只含个未知数，并且未知数的最高次数是的方程叫做一元二次方程.一元二次方程的一般形式是.其中叫做二次项，叫做一次项，叫做常数项；叫做二次项的系数，叫做一次项的系数.

2.一元二次方程的常用解法：

（1）直接开平方法：形如或的一元二次方程，就可用直接开平方的方法.

（2）配方法：用配方法解一元二次方程的一般步骤是：①；②，③，④，⑤如果是非负数，即，就可以用直接开平方求出方程的解.如果n＜0，则原方程无解.

（3）公式法：一元二次方程的求根公式是.

（4）因式分解法：因式分解法的一般步骤是：①；②；③令每个因式都等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解.

3.一元二次方程根的判别式：

关于x的一元二次方程的根的判别式为.

（1）0一元二次方程有两个实数根，即.

（2）=0一元二次方程有相等的实数根，即.

（3）0一元二次方程实数根.

4．一元二次方程根与系数的关系

若关于x的一元二次方程有两根分别为，，那么，.

基础检测

基础检测

1．（2017贵州安顺）若关于x的方程x2+mx+1=0有两个不相等的实数根，则m的值可以是（）

A．0B．﹣1C．2D．﹣3

2．方程（x﹣3）（x﹣9）=0的根是．

3．（2017山东滨州）一元二次方程x2﹣2x=0根的判别式的值为（）

A．4B．2C．0D．﹣4

4．（2017黑龙江鹤岗）原价100元的某商品，连续两次降价后售价为81元，若每次降低的百分率相同，则降低的百分率为．

5．（2016?随州）随州市尚市“桃花节”观赏人数逐年增加，据有关部门统计，2014年约为20万人次，2016年约为28.8万人次，设观赏人数年均增长率为x，则下列方程中正确的是（）

A．20（1+2x）=28.8B．28.8（1+x）2=20

C．20（1+x）2=28.8D．20+20（1+x）+20（1+x）2=28.8

6．（2017?温州）我们知道方程x2+2x﹣3=0的解是x1=1，x2=﹣3，现给出另一个方程（2x+3）2+2（2x+3）﹣3=0，它的解是（）

A．x1=1，x2=3B．x1=1，x2=﹣3C．x1=﹣1，x2=3D．x1=﹣1，x2=﹣3

7.（2017甘肃张掖）如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2．若设道路的宽为xm，则下面所列方程正确的是（）

A．（32﹣2x）（20﹣x）=570B．32x+2×20x=32×20﹣570

C．（32﹣x）（20﹣x）=32×20﹣570D．32x+2×20x﹣2x2=570

8．（2016·四川南充）已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+（2m+1）=0有实数根．

（1）求m的取值范围；

（2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且2x1x2+x1+x2≥20，求m的取值范围．

9．（2017江苏盐城）某商店在2014年至2016年期间销售一种礼盒．2014年，该商店用3500元购进了这种礼盒并且全部售完；2016年，这种礼盒的进价比2014年下降了11元/盒，该商店用2400元购进了与2014年相同数量的礼盒也全部售完，礼盒的售价均为60元/盒．

（1）2014年这种礼盒的进价是多少元/盒？

（2）若该商店每年销售这种礼盒所获利润的年增长率相同，问年增长率是多少？

考点解析

考点解析

题型一一元二次方程的有关概念

【例题】（2017?湖南张家界，第15题，3分）已知关于x的方程x2+2x+k=0的一个根是﹣1，则k=．

【解析】将x=﹣1代入已知方程，列出关于k的新方程，通过解新方程即可求得k的值．

解答根据题意，得

（﹣1）2+2×（﹣1）+k=0，

解得k=1；

故答案是：1．

【点评】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．

【变式】

1．下列方程中，是关于x的一元二次方程的为（）

A．2x2＝0B．4x2＝3y

C．x2＋＝－1D．x2＝(x－1)(x－2)

【答案】A

【解析】A、满足一元二次方程的条件，所以正确；B、是二元二次方程，所以错误；C、是分式方程；所以错误；D、整理得：3x-2=0，所以错误；故选A.

2.（2016·四川攀枝花）若x=﹣2是关于x的一元二次方程x2+ax﹣a2=0的一个根，则a的值为（）

A．﹣1或4B．﹣1或﹣4C．1或﹣4D．1或4

【解析】把x=﹣2代入已知方程，列出关于a的新方程，通过解新方程可以求得a的值．

【