大招30对数平均不等式(含答案解析）.docx

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大招30??对数平均不等式

齐次化的方法可以处理一些比较复杂的导数大题，这里我们再一起来探讨一个齐次化的衍生结论——对数平均不等式，这个结论在处理一些涉及对数函数的导数问题中有妙用．

1．对数平均不等式

对于两个正实数，（），有．

证明??①先证明左边一半，如果要证明，则需证明，也就是需要证明．

构建函数，，所以，

所以当时，，函数单调递增，

所以当时，．因为，所以，

所以，所以．

②再证明右边一半，如果需要证明，则需要证明，也就是需要证明．

构建函数，，所以，所以当时，，函数单调递增，所以当时，．因为，所以，所以．

综上所述，．

2．对数平均不等式应用时的注意事项

①对数平均不等式在大题中不能直接使用，要使用的话需要补充上证明过程（所以需要记一下如何证明呦）．因此它更多的是给我们提供一个放缩的思路．

②遇见想用对数平均不等式的问题时，需要从齐次化的角度考虑，把式子往齐次式上转化．

【典例1】已知函数，如果，且，证明：．

【大招指引】先判定不符合题意，再两边取对数得到，再利用对数平均不等式进行证明.

【解析】由得，又，所以和同号，

当时，，单调递增，

若，，则由得，

这与题设不符，所以，．

将等式两边同时取以自然对数得，

即，

所以，由对数平均不等式得，

即，所以．

下面证明．

证明：，构造函数，

所以，所以是增函数，

又因为，所以，

即，故成立，命题得证．

【题后反思】本题主要采用了比值换元+构造函数的方法，不等式同时取以自然对数得和是转化的关键.

【温馨提醒】利用对数平均不等式解题的一般步骤：

步骤1：构建等量关系式；

步骤2：对等量关系式进行处理；

步骤3：恒等变形转化出对数平均数（或它的倒数），代入对数平均不等式（根据题目需要和放缩的方向，可以恰当选择调和平均数等其它形式）进行求解；

步骤4：根据证明的目标，从不等式中恰当选择放缩的方向和放缩的工具．

【举一反三】

1．已知，求证：．

【典例2】已知函数．

（1）当时，函数为递减函数，求的取值范围；

（2）设是函数的导函数，，是函数的两个零点，且，

求证：．

【大招指引】（1）求导，利用导函数非正恒成立进行求解；（2）带点作差分离得到，再代入.，将问题转化为，进而利用对数平均不等式进行证明.

【解析】（1）（过程略）．

（2）证明：由，是函数的两个零点，且，所以，两式相减得：，所以，

所以，

要证，只需证即可．

由变形得．

由对数平均不等式可知，上式显然成立．

【题后反思】本题也可以利用比值换元+构造函数进行求解：

由变形，得，

记，则有，

构造函数，

，在单调递增，

，，．

【温馨提醒】要构建对数平均数（或它的倒数）的障碍就是参数，所以这种含参数的应该首先消去参数再按照常规的对数平均数解题范式进行解题．

【举一反三】

2．已知函数（），若fx有两个零点，（），求证：.

【典例3】已知函数．

（1）若，求函数的单调区间；

（2）若函数的两个相异的零点，，求证：．

【大招指引】（1）求导，利用导数的符号确定函数的单调性；（2）带点，两式相加减得到和，即和，再利用对数平均不等式进行求解.

【解析】（1）的单调增区间为；减区间为，过程略．

（2）????证明：因为，是函数的两个相异的零点，必有，

不妨设则有，两式相减得：，

可得．要证，即证：，

将两式相加得，

故只需证，即，

由对数平均不等式可知上式显然成立．

【题后反思】解决本题的关键是代入后两式相加减并化简得到和，这是应用对数平均不等式的前提.

【温馨提醒】用对数平均不等式解决双变量的不等式证明问题时，解题的模式还是用范式的步骤来解．这种问题往往需要对证明目标进行变形，然后将对数平均数对变形的结果进行整体代换即可．

【举一反三】

3．已知函数，若函数的图象在处的切线平行于轴，且、是函数的图象上任意两个不同的点，设直线的斜率为，证明:.

4．已知函数有两个零点，则下列说法错误的是

A．

B．

C．

D．有极小值点，且

5．设函数的两个零点是，求证：．

6．已知函数和，若存在两个实数且，满足，求证：

7．已知函数.

（Ⅰ）若时，，求的最小值；

（Ⅱ）设数列的通项，证明：.

8．已知函数．

(1)求函数的单调区间．

(2)设，若存在两个不相等的实数，，当，时，．求证：．

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参考答案：

1．证明见解析

【分析】设，将问题转化为证明成立，代入得到对数平均不等式，从而得证.

【详解】设，则，

两式相减得，即，

不妨设，所以