大招29隐函数求导(含答案解析）.docx

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大招29??隐函数求导

1．显函数的定义

如果是关于自变量的一个函数，且能够得到函数的解析式，则是关于自变量的显函数（例如）．

2．隐函数的定义

如果是关于自变量的一个函数，且满足一个方程（例如），此时就可以拿方程作为隐函数的表达式．

注：

（1）如果函数的解析式求不出来，那么不能将之显性化．

（2）如果函数的解析式求得出来，那么对于来说既可以表示为隐函数形式，也可以表示为显函数形式，例如是的隐函数形式，是的显函数形式．

3．隐函数的求导

这里把换成只是为了方便理解，后面使用熟练后可以直接把关于的导数记为．隐函数求导的一般步骤：

第一步：通过两边同时取对数或代数变形，把等式两边变成都能对求导的形式．

第二步：把看作关于的函数，运用复合函数的求导法则对等式两边求导．

第三步：化简式子，得出的表达式．

4．隐函数求导的应用

①求圆锥曲线的切线方程．

②进行复杂函数的求导运算．

【典例1】求双曲线x2－＝1在点（，）处的切线方程．

【大招指引】利用隐函数的求导方法进行求导，再利用导数的几何意义、直线的点斜式写出切线方程.

【解析】对x2－＝1求导得2x－y·y′＝0，

∴y′＝，∴y′|x=＝2，

故双曲线x2－＝1在点（，）处的切线方程为y－＝2（x－），

即2x－y－＝0.

【题后反思】本题也可以直接圆锥曲线的切线结论直接求解：

因为双曲线－＝1（a＞0，b＞0）上一点P（x0，y0）处的切线方程是－＝1，

所以双曲线x2－＝1在点（，）处的切线方程为x－＝1，即为2x－y－＝0.

【温馨提醒】导数法是解决曲线切线问题的根本出路．要了解隐函数的求导法则，掌握由曲线方程求导数的方法技巧．

【举一反三】

1．证明：过椭圆C：(mn0)上一点Q(x0，y0)的切线方程为．

【典例2】已知也可以看作成是关于的函数，求.

【大招指引】方程两边对x求导，把y视为函数，最后保留.

【解析】方程两边对x求导，把y视为函数，

得，

即

.

【题后反思】本题也可以对方程两边同时微分进行求解：

.

解得.

【温馨提醒】由于函数的解析式求不出来，因此导函数中只能保留.

【举一反三】

2．已知看成是关于的函数，求其导数

3．在平面直角坐标系中,定点,两动点在双曲线的右支上,则的最小值是（??????????）

A． B． C． D．

4．已知圆的方程为，则过圆上一点的切线方程为.

5．已知定义在上的函数，都恒大于，且各自的导函数，都存在．试求函数的导函数．

6．已知点为椭圆上任意一点，直线，点F为椭圆C的左焦点．

(1)求椭圆C的离心率及左焦点F的坐标；

(2)求证：直线与椭圆C相切；

7．已知椭圆C：(a＞b＞0)的右焦点F(1，0)，右顶点A，且|AF|＝1.

(1)求椭圆C的标准方程．

(2)若动直线l：y＝kx＋m与椭圆C有且只有一个交点P，且与直线x＝4交于点Q，问：是否存在一个定点M(t，0)，使得？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．

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参考答案：

1．证明见解析

【分析】方法一：分，和，当，时，利用导数求切线方程可得；

方法二：设直线方程联立椭圆方程，利用判别式等于0求切点横坐标，然后可得切线方程.

【详解】法一：由椭圆C：，则有

当时，，求导数为：，

∴当时，．

∴切线方程为，

整理为：，

两边同时除以得：．

同理可证：时，切线方程也为．

当时，切线方程为满足．

综上，过椭圆上一点的切线方程为．

法二：当斜率存在时，设切线方程为，联立方程：

可得，化简可得：

，①

由题可得：，

化简可得：，

①式只有一个根，记作，，为切点的横坐标，

切点的纵坐标，所以，所以，

所以切线方程为：，

化简得：．

当切线斜率不存在时，切线为，也符合方程，

综上：在点处的切线方程为．

2．

【分析】利用复合函数的导数运算法则求导即可.

【详解】由于是关于的隐函数y=fx，因此就有，

此时对等式两边求导，.根据复合函数求导法则就会有：

，

即，从而得到导函数.

故答案为：.

3．D

【分析】由图知当与双曲线相切时,最大从而最小.根据隐函数的求导步骤求出双曲线的切线方程,得到点的坐标,根据二倍角公式求解即可.

【详解】由图知当与双曲线相切时,最大从而最小.

此时两点关于轴对称,,

对方程两边求x的导数得,

所以,

不妨设点,

则,

切线的方程为,

即,而,

所以的方程为,

将代入得,从而,

即,

所以,

则

故选:D.

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