数学《定积分的应用》讲义.docVIP

第十章定积分的应用

1平面图形的面积

一、直角坐标系下平面图形

连续曲线直线和轴所围成的曲边梯形面积为

；

若在上不是非负的,则上述围成图形的面积为

.

一般地，1)由上下两根连续曲线和以及直线所围成平面图形面积为.

2)由两条曲线，围成的平面图形面积为

,

其中与曲线与所有交点中横坐标最小值和最大值.

例1求曲线围成的平面图形面积.

例2求由抛物线直线所围成的平面图形面积.

设上的曲边梯形的曲边由方程，，，，

.又设，于是存在反函数,则曲边方程为

.

从而,曲边梯形面积为

例3求由摆线的一拱与x轴所围成的平面

图形面积.

例4求椭圆所围成图形面积.

二、极坐标下平面图形的面积

设曲线C由极坐标方程

给出，其中在上连续，下求由曲线C与两射线所围成的平面图形（称之为扇形)面积.

例5求由双纽线所围成平面图形的面积.

()

[简单介绍微元法:

x的范围a≤x≤b

微元dx,ds=f(x)dx(△s≈f(x)△x)

微元

]

“化曲为直”，“以直代曲”.

三、微元法

若令，则当为连续函数时，或，且.

（现在把问题倒过来)如求的量是分布在某区间上的,或说其是x的函数,,且当x=b时，就是最终所求值.

任取小区间，若能把的微小增量近似表示为的线性形式

其中为某一连续函数，且时，，

即

从而只要把积分出来就是所求结果.

上述方法称为微元法.使用微元法时要求：

=1\*romani)所求量关于分布区间是代数可加的

=2\*romanii)微元法的关键是正确给出的近似表达式，在一般情形下，要严格检验是否为的高阶无穷小.

2.由平行截面面积求体积

一、已知平行截面面积

祖暅原理：夫幂势相同，则积不容异.[亦可通过分割，求和取极限方法得到]

例1由两个圆柱面和所围成立体体积.

例2求由椭球面所围成立体（椭球)的体积.

二、旋转体

设为上的连续函数(f(x)≥0),则曲线y=f(x)绕x轴旋转一周得到的旋转体V，易证V的体积为

例3求圆锥体的体积公式.

例4求圆绕x轴旋转一周所得到的环状立体体积.

1)

例5，绕x轴（y轴)旋转所得立体体积.

3平面曲线的弧长

1、弧长的定义

设平面曲线，在A,B上取点构成的一个分割，记作T，，，，.

定义1对于曲线上无论怎样的分割T，如果存在有限数s，使，

那么称曲线是可求长的，并把极限s定义为曲线的弧长.

2、弧长的计算

设曲线方程,由微元法,

进一步,若曲线的方程为，则

（提出光滑曲线概念)连续

定义2设平面曲线由参数方程(*)

给出.若,在上有连续导数,,则称为一条光滑曲线.

定理设曲线由参数方程(*)给出，若为一条光滑曲线，则是可求长的，且

弧长为.

例1求摆线一拱一拱的弧长.

（）

例2求悬链线，从到一段的弧长.

若曲线由极坐标方程给出，则

从而.

故

则当在上连续，且与不同时为0时，此极坐标曲线为一光滑曲线.此时弧长公式为

.

例3求心形线的弧长.

弧长,，，

,

（连续)

下面反过来求弧长微分.考察从到上一点的弧长，则

几何意义为的线性主要部分

直线段之长就和曲线之长很接近（相差一个高阶无穷小).

若,则

.

4旋转曲面的面积

设平面光滑曲线的方程为，，此段曲线绕轴旋转一周得到一旋转曲面.下面求其面积.

由于，，

若曲线由参数方程，，且，则曲线绕轴旋转所得的旋转曲面的面积为

.

例1求圆在上的弧段绕轴旋转所得球带的面积.

例2求内摆线绕轴旋转所得旋转曲面的面积.

5定积分在物理中的某些应用

一、液体静压力

例1如图所示为一管道的圆形闸门，半径为3米.问水面齐及直径时,闸门所受到的水的静压力有多大？

二、引力

例2一根长为的均匀细杆，质量为,在其中垂线上相距细杆为处有一质量为的质点，试求细杆对质点的万有引力.

三、功与平均功率

例3一圆锥形水池，池口直径30米，深10米，池中盛满水，试求将全部池水抽出池外所作的功.

例4在地面上将质量为的物体沿着轨线举起，，（为时间，为空间笛卡尔坐标)要求在时间段内克服重力做的功.

这样所做的功只依赖于，即只依赖于物体在初始时刻和结束时刻离地球中心的距离.

令，从而将质量为的物体从半径为的球面上任一点移动到半径为的球面上任一点，克服重力所做的功，称为牛顿位势.设为地