专题07 将军饮马模型（解析版）.pdf

专题07.将军饮马模型

将军饮马模型在考试中，无论是解答题，还是选择、填空题，都是学生感觉有困难的地方，也恰是学生

能力区分度最重要的地方，主要考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以中高档题为主。在解决几

何最值问题主要依据是：①两点之间，线段最短；②垂线段最短，涉及的基本方法还有：利用轴对称变换化

归到“三角形两边之和大于第三边”、“三角形两边之差小于第三边”等。希望通过本专题的讲解让大家对

这类问题有比较清晰的认识。··

模型1、将军饮马--两定一动求线段和的最小值

【模型探究】A，B为定点，m为定直线，P为直线m上的一个动点，求AP+BP的最小。

（）如图，点A、B在直线m两侧：

11

辅助线：连接AB交直线m于点P，则APBP的最小值为AB

+.

（2）如图2，点A、B在直线同侧：

辅助线：过点A作关于定直线m的对称点A’，连接A’B交直线m于点P，则AP+BP的最小值为A’B.

图1图2

例．（江苏八年级专题练习）要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，小聪根据实际

12022··

情况，以街道旁为x轴，测得A点的坐标为(0，3)，B点的坐标为(6，5)，则从A、B两点到奶站距离之和的

最小值是____．

【答案】10

【分析】作A点关于x轴的对称点A，连接AB与x轴交于点P，连接AP，则AB即为所求．

【详解】解：作A点关于x轴的对称点A，连接AB与x轴交于点P，连接AP，

∵AP＝AP，∴AP+BP＝AP+BP＝AB，此时P点到A、B的距离最小，

22

∵A（0，3），∴A（0，﹣3），∵B（6，5），5-（-3）=8，6-0=6∴AB＝86=10，

∴P点到A、B的距离最小值为10，故答案为：10．

【点睛】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，会根据两点坐标求两点间距离

是解题的关键．

例2．（2022·江苏·八年级专题练习）如图，等边△ABC的边长为6，AD是BC边上的中线，M是AD上的

动点，E是边AC上一点，若AE＝2，则EM＋CM的最小值为（）

AB3C2D4

．26．3．7．2

【答案】C

【分析】连接BE，交AD于点M，过点E作EF⊥BC交于点F，此时EM＋CM的值最小，求出BE即可．

【详解】解：连接BE，交AD于点M，过点E作EF⊥BC交于点F，

∵△ABC是等边三角形，AD是BC边上的中线，∴B点与C点关于AD对称，∴BM＝CM，

∴EM＋CM＝EM＋BM＝BE，此时EM＋CM的值最小，

∵AC＝6，AE＝2，∴EC＝4，在Rt△EFC中，∠ECF＝60°，

2242

∴FC＝，EF＝，在Rt△BEF中，BF＝，∴BE＝，故选：C．

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【点睛】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，灵活运用勾股定理是解题关键．

32022··ABCABAC

例．（江苏八年级专题练习）如图所示，在中，，直线EF是AB的垂直平分线，D

ABC12BC4_________

是的中点，是上一个动点，的面积为，，则周长的最小值是．