专题13 全等三角形重难点模型（五大模型）（解析版）.pdf

专题13全等三角形重难点模型（五大模型）

模型归纳

模型一：一线三等角型

模型二：手拉手模型

模型三：半角模型

模型四：对角互补模型

模型五：平行+线段中点构造全等模型

【典例分析】

【模型一：一线三等角型】

如图一，∠D∠BCA∠E90°，BCAC。结论：Rt△BDC≌Rt△CEA

模型二一线三等角全等模型

如图二，∠D∠BCA∠E，BCAC。结论：△BEC≌△CDA

图一图二

应用：①通过证明全等实现边角关系的转化，便于解决对应的几何问题；

②与函数综合应用中有利于点的坐标的求解。

1A10yB0a

【典例】如图，平面直角坐标系中有点（﹣，）和轴上一动点（，），

其中a＞0，以B点为直角顶点在第二象限内作等腰直角△ABC，设点C的坐

cd

标为（，）．

（1）当a＝2时，则C点的坐标为；

（2）动点B在运动的过程中，试判断c+d的值是否发生变化？若不变，请求

出其值；若发生变化，请说明理由．

【解答】解：（1）如图1中，过点C作CE⊥y轴于E，则∠CEB＝∠AOB．

∵△ABC是等腰直角三角形，

∴BC＝BA，∠ABC＝90°，

BCE+CBE90BAO+CBE

∴∠∠＝°＝∠∠，

∴∠BCE＝∠ABO，

在△BCE和△BAO中，

，

∴△CBE≌△BAO（AAS），

A10B02

∵（﹣，），（，），

∴AO＝BE＝1，OB＝CE＝2，

OE1+23

∴＝＝，

∴C（﹣2，3），

故答案为：（﹣2，3）；

2Ac+d

（）动点在运动的过程中，的值不变．

理由：过点C作CE⊥y轴于E，则∠CEA＝∠AOB，

∵△ABC是等腰直角三角形，

∴BC＝BA，∠ABC＝90°，

BCE+CBE90ABO+CBE

∴∠∠＝°＝∠∠，

∴∠BCE＝∠ABO，

在△BCE和△BAO中，

，

∴△CBE≌△BAO（AAS），

B10A0a

∵（﹣，），（，），

∴BO＝AE＝1，AO＝CE＝a，

OE1+a

∴＝，

∴C（﹣a，1+a），

Ccd

又∵点的坐标为（，），

∴c+d＝﹣a+1+a＝1，

即c+d的值不变．

【变式1】点A的坐标为（4，0），点B为y轴负半轴上的一个动点，分别以OB、

AB为直角边在第三象限和第四象限作等腰Rt△OBC和等腰Rt△ABD．

1B03ACOD

（）如图一，若点坐标为（，﹣），连接、．

①求证：AC＝OD；

②求D点坐标．

2CDyEBE

（）如图二，连接，与轴交于点，试求长度．

【解答】（1）①证明：∵△OBC和△ABD是等腰直角三角形，

∴OB＝CB，BD＝AB，∠ABD＝∠OBC＝90°，

ABD+ABOOBC+AO

∴∠＝∠∠∠，

∴∠OBD＝∠CBA，

∴△OBD≌△CBA（SAS），

ACOD

∴＝；

②如图一、

∵A（4，0），B（0，﹣3），

∴OA＝4，OB＝3，

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