专题15 “一线三等角”模型及其变形的应用（解析版）.pdfVIP

专题15“一线三等角”模型及其变形的应用

模型归纳

如图一，∠D∠BCA∠E90°，BCAC。结论：Rt△BDC≌Rt△CEA

图1

应用：

1

（）通过证明全等实现边角关系的转化，便于解决对应的几何问题；

2

（）平面直角坐标系中有直角求点的坐标，可以考虑作辅助线构造“三垂直”

作辅助线的程序：过直角顶点再直角外部作水平线或竖直线，过另外两个顶点向上述直线

作垂线段，即可得到“三垂直”模型。如下图所示

【典例分析】

【应用1“全等型”三垂直基本应用】

【典例1】在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，

BE⊥MN于E．

（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，

求证：△ADC≌△CEB；

①

②DE＝AD+BE；

（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出

证明；若不成立，说明理由．

【解答】（1）证明：∵∠ACD+∠BCE＝90°∠DAC+∠ACD＝90°，

①

∴∠DAC＝∠BCE．

又AC＝BC，∠ADC＝∠BEC＝90°，

∴△ADC≌△CEB．

②∵△ADC≌△CEB，

∴CD＝BE，AD＝CE．

∴DE＝CE+CD＝AD+BE．

（2）△ADC≌△CEB成立，DE＝AD+BE．不成立，此时应有DE＝AD﹣BE．

证明：∵∠ACD+∠BCE＝90°∠DAC+∠ACD＝90°，

∴∠DAC＝∠BCE．

又AC＝BC，∠ADC＝∠BEC＝90°，

∴△ADC≌△CEB．

∴CD＝BE，AD＝CE．

∴DE＝AD﹣BE．

【变式1-1】如图，AC＝CE，∠ACE＝90°，AB⊥BD，ED⊥BD，AB＝6cm，DE＝2cm，

则BD等于（）

A．6cmB．8cmC．10cmD．4cm

【答案】B

【解答】解：∵AB⊥BD，ED⊥BD，

∴∠B＝∠D＝∠ACE＝90°，

∴∠BAC+∠ACB＝90°，∠ACB+∠ECD＝90°，

∴∠BAC＝∠ECD，

∵在Rt△ABC与Rt△CDE中，

，

∴Rt△ABC≌Rt△CDE（AAS），

∴BC＝DE＝2cm，CD＝AB＝6cm，

∴BD＝BC+CD＝2+6＝8cm，

故选：B．

【变式1-2】（2020秋•东川区期中）如图，已知：AB⊥BD，ED⊥BD，AB＝CD，AC＝CE．

（1）AC与CE有什么位置关系？

（2）请证明你的结论．

【答案】（1）AC⊥CE（2）略

【解答】解：（1）AC⊥CE．

（2）证明：∵AB⊥BD，ED⊥BD，

∴∠ABC＝∠CDE＝90°，

在Rt△ABC和Rt△CDE中，

，

∴Rt△ABC≌Rt△CDE（HL），

∴∠A＝∠ECD，

∵∠A+∠ACB＝90°，

∴∠ECD+∠ACB＝90°，

∴∠ACE＝90°，

∴AC⊥CE．

【典例2】（2020春•历下区期中）CD是经过∠BCA定点C的一条直线，CA＝CB，E、F

分别是直线CD上两点，且∠BEC＝∠CFA＝∠β．

（1）若直线CD经过∠BCA内部，且E、F在射线CD上，

①若∠BCA＝90°，∠β＝90°，例如图1，则BECF，EF|BE﹣AF|．（填“＞”，

“＜”，“＝”）；

②若0°＜∠BCA＜180°，且∠β+∠BCA＝180°，例如图2，①中的两个结论还成立

吗？并说明理由；

（2）如图3，若直线CD经过∠BCA外部，且∠β＝∠BCA，请直接写出线段EF、BE、

AF的数量关系（不需要证明）．

【答案】（1）①＝，＝②①中两个结论仍然成立

【解答】解：（1）①如图1，

E点在F点的左侧，

∵BE⊥CD，AF⊥CD，∠ACB＝90°，

∴∠BEC＝∠AFC＝90°，

∴∠BCE+∠ACF＝90°，∠CB