专题07 解题技巧专题：构造等腰三角形的技巧压轴题三种模型全攻略（原卷版）.docx

专题07解题技巧专题：构造等腰三角形的技巧压轴题三种模型全攻略

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TOC\o1-3\h\u【典型例题】 1

【类型一利用平行线+角平分线构造新等腰三角形】 1

【类型二过腰或底作平行线构造新等腰(边)三角形】 12

【类型三利用倍角关系构造新等腰三角形】 21

【典型例题】

【类型一利用平行线+角平分线构造新等腰三角形】

例题：（2022秋·广东潮州·八年级统考期末）已知，如图中，、的平分线相交于点，过点作交、于、．

??

(1)如图1若，图中有________个等腰三角形，且与、的数量关系是________．

(2)如图2若，其他条件不变，（1）问中与、间的关系还成立吗？请说明理由．

(3)如图3在中，若，的平分线与三角形外角的平分线交于，过点作交于，交于．请直接写出与、间的数量关系是．

【变式训练】

1．（2023春·重庆合川·八年级期末）如图，在中，，是的角平分线，交AB于点F．的一个外角的平分线与的延长线交于点G．

(1)求证：；

(2)若，求的大小．

2．（2023春·陕西榆林·七年级统考期末）如图，在中，，平分交于点，过点作交的延长线于点．

??

(1)若，求的度数；

(2)若是上的一点，且，判断与的数量关系，并说明理由．

3．（2023春·江苏南通·七年级统考期末）如图，已知平分且点M是射线上一动点，交射线于点N．

??

(1)当时，求的度数；

(2)当时，求证：；

(3)试探究线段之间的数量关系．

4．（2023春·江西吉安·八年级统考期末）类比、转化等数学思想方法，在数学学习和研究中经常用到，如下是一个案例，请补充完整．

已知△ABC．

(1)观察发现

如图①，若点D是和的角平分线的交点，过点D作分别交，于E，F．填空：与的数量关系是______．请说明理由

(2)猜想论证

如图②，若点D是外角和的角平分线的交点，其他条件不变，填：与的数量关系是______．请说明理由

(3)类比探究

如图③，若点D是和外角的角平分线的交点．其他条件不变，则（1）中的关系成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请写出关系式，再证明．

5．（2022春·黑龙江牡丹江·八年级统考期中）在中，点，点在直线上，，过点作，交射线于点，过点作，交直线于点．

(1)当是的角平分线，点在边延长线上时，如图①，求证：；（提示：延长，相交于点．）

(2)当是的角平分线，点在边上时，如图②；当是外角的角平分线，点在边延长线上时，如图③，请直接写出线段，，之间的数量关系，不需要证明；

(3)在（1）、（2）的条件下，若，则_____________．

【类型二过腰或底作平行线构造新等腰(边)三角形】

例题：（2022春·湖北武汉·八年级校考阶段练习）已知：等边中．

(1)如图1，点M是BC的中点，点N在AB边上，满足，求的值；

(2)如图2，点M在AB边上（M为非中点，不与A，B重合），点N在CB的延长线上且，求证：．

(3)如图3，点P为AC边的中点，点E在AB的延长线上，点F在BC的延长线上，满足，求的值．

【变式训练】

1．（2023春·广东·八年级统考期末）已知，在等边三角形中，点E在上，点D在的延长线上，且．

(1)【特殊情况，探索结论】如图1，当点E为的中点时，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论：（填“＞”、“＜”或“＝”）．

(2)【特例启发，解答题目】如图2，当点E为边上任意一点时，确定线段与的大小关系，请你写出结论，并说明理由．（填“＞”、“＜”或“＝”）；理由如下，过点E作，交于点F．（请你完成以下解答过程）．

(3)【拓展结论，设计新题】在等边三角形中，点E在直线上，点D在线段的延长线上，且，若的边长为1，，求的长（直接写出结果）．

2．（2022春·辽宁大连·八年级期末）是等边三角形，点是上一点，点在的延长线上，且．

(1)如图1，当点是的中点时，求证：；

(2)如图2，当点是上任意一点时，取的中点，连接．求的度数

3．（2022春·吉林长春·八年级统考期末）在等边中，是的中点，，的两边分别交直线、于、．

(1)问题：如图1，当、分别在边、上，，时，直接写出线段与的数量关系；

(2)探究：如图2，当落在边上，落在射线上时，（1）中的结论是否仍然成立？写出理由；

(3)应用：如图3，当落在射线上，F落在射线上时，，，则___________．

【类型三利用倍角关系构造新等腰三角形】

例题：（2022秋·黑龙江大庆·八年级大庆市第六十九中学校考期中）如图，在中，，的平分线交于点D．求证：．

??

【变式训练】

1．（2022春·浙江·八年级专题练习）在中，，

(1)如图①，当，为的角平分线时，在上截取，连接，易证．请证明；

(2)①如图②