组合与组合数 高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册.pptxVIP

6.2.3组合与组合数

问题一：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法?

问题二：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天一项活动，有多少种不同的选法?

探究1:上述两个问题的结果一样么?如果不一样，原因是什么?

个不同元素中取出m个元素的一个组合。

注意：

(1)组合的特点：组合要求n个元素是不同的，取出的m个元素也是不同的，即从n个不同的元素中进行m次不放回地取出.

(2)组合的特性：元素的无序性.取出的m个元素不讲究顺序，即元素没有位置的要求.

组合和排列有什么共同和不同点?

共同点：都要“从n个不同元素中任取m个元素”

不同点：排列与元素的顺序有关，而组合则与元素的顺序无关.

排列问题

若交换某两个元素的位置对结果有影响，则是排列问题，即排列问题与选取的顺序有关.

组合问题

若交换任意两个元素的位置对结果没有影响，则是组合问题，即组合问题与选取的顺序无关.

思考：如何区分排列问题还是组合问题?

(1)某铁路线上有5个车站，则这条铁路线上共需准备多少种车票?排列

(2)10人聚会，见面后每两人之间要握手相互问候，共需握手多少次?组合

(3)有10个车站，共需要多少种不同的票价?组合

(4)设集合A={a,b,c,d,e},则集合A的子集中含有3个元素的有多少组合个?

(5)3人去干5种不同的工作，每人干1种，有多少种分工方法?排列【例2】平面内有A、B、C、D共4个点.

(1)以其中2个点为端点的有向线段共有多少条?

(2)以其中2个点为端点的线段共有多少条?

2.组合数的概念

从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号Cn表示.

试一试

1.写出从a,b,c,d四个元素中任取三个元素的所有组合。

2.写出从a,b,c,d四个元素中任取三个元素的所有排列。

bac

bca

bad

bda

cad

cda

cbd

cdb

cab

cba

dab

dba

dacdca

dbc

dcb

abc

acb

abd

adb

acd

adc

bcd

bdc

abc

abd

acd

bcd

第2步，求每一个组合中m个元素的全排列数Am·

根据分步乘法计数原理，得到：

3.组合数公式及其性质

一般，从n个不同元素中取出m个元素的排列数，可以分为以下2步：

第1步，先求出从这n个不同元素中取出m个元素的组合数C

规定：

乘积式

阶乘式

A.A100100B.C109100C.101Cl9900D.101Cl⁹100

(2)求值：C5-n+Cn+7.

(3)证明：

例3:计算(1)C³(2)C⁷(3)C10(4)C%

可表示为()

例4(1)式子

(1)现要从中选2名去参加会议，有多少种不同的选法?

(2)选出2名男教师或2名女教师参加会议，有多少种不同的选法?

(3)现要从中选出男、女教师各2名去参加会议，有多少种不同的选法?

(4)从中选2名教师参加会议，至少有1名男教师的选法是多少?

(5)从中选2名教师参加会议，最多有1名男教师的选法又是多少?

课堂小结

(1)组合的定义?

(2)如何判断一个计数问题是排列问题还是组合问题?

(3)求一个组合问题的所有组合个数的基本方法：

(1)判断是否为组合问题；(2)是否分类或分步；(3)根据组合的相关知识进行求解.