微专题（三）构造法在导数中的应用--2025年高考数学复习讲义及练习解析.pdf

2025年高考数学复习讲义及练习解析

近几年高考数学客观压轴题，多以导数为工具采用构造函数比较大小或求参数取值范围的形

式出题，这类试题具有结构独特、技巧性高、综合性强等特点，而构造函数是解决导数问题

的基本方法，以下对在处理导数问题时构造函数的规律方法进行归类总结，并举例说明．

类型一导数型构造函数(多角度探究)

n

角度1利用f(x)与x构造

n

(1)对于xf′(x)＋nf(x)0(或0)，其中n0，构造函数F(x)＝xf(x)；

f(x)

(2)对于xf′(x)－nf(x)0(或0)，其中n0，构造函数F(x)＝.

n

x

例1函数f(x)是定义在(－∞，0)上的可导函数，其导函数为f′(x)，且3f(x)＋xf′(x)0，则不

3

等式(x＋2024)f(x＋2024)＋8f(－2)0的解集为()

A．(－2026，－2024)B．(－∞，－2026)

C．(－2024，－2023)D．(－∞，－2020)

答案A

323

解析依题意，有[xf(x)]′＝x[3f(x)＋xf′(x)]0，故y＝xf(x)在(－∞，0)上是减函数，原不等式

33

化为(x＋2024)f(x＋2024)(－2)f(－2)，即0x＋2024－2，所以原不等式的解集为(－2026，

－2024)．故选A.

题目已知中出现含f(x)，f′(x)的不等式，一般应考虑逆用导数的运算法则构造新

函数，然后再逆用单调性等解决问题．

1．设f(x)是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，且f(1)＝0，当x0时，有xf′(x)－f(x)0

恒成立，则不等式f(x)0的解集为________．

答案(－∞，－1)∪(1，＋∞)

f(x)xf′(x)－f(x)

解析构造F(x)＝，则F′(x)＝，由当x0时，xf′(x)－f(x)0可得当x0时，F′(x)0，

2

xx

∴F(x)在(－∞，0)上单调递增．又f(x)为偶函数，g(x)＝x为奇函数，∴F(x)为奇函数，∴F(x)

在(0，＋∞)上单调递增．根据f(1)＝0可得F(1)＝0，根据函数的单调性、奇偶性可得函数F(x)

的图象(图略)，根据函数F(x)的图象可知f(x)0的解集为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．

nx

角度2利用f(x)与e构造

nx

(1)对于f′(x)＋nf(x)0(或0)，其中n0，通常构造函数F(x)＝ef(x)；

f(x)

(2)对于f′(x)－nf(x)0(或0)，其中n0，通常构造函数F(x)＝.

nx

e

例2(2023·湖北武汉华中师范大学第一附属中学高三上学期