微专题(二) 双变量“存在性或任意性”问题--2025年高考数学复习讲义及练习解析.pdf

2025年高考数学复习讲义及练习解析

双变量的“存在性或任意性”问题，是高考的热点之一，尤其在函数、导数、不等式中出现较

多．解决此类问题的关键是将含有全称量词和存在量词的条件等价转化为两个函数值域之间

的关系或两个函数最值的大小比较．

类型一形如“对任意x∈A，都存在x∈B，使得f(x)＝g(x)成立”

1212

∀x∈A，∃x∈B，使得f(x)＝g(x)等价于函数f(x)在A上的值域是g(x)在B上的值域的子集．其

1212

等价转化的基本思想是：函数y＝f(x)在区间A上的任意一个函数值都等于函数y＝g(x)在区间

B上的某一个函数值，即函数y＝f(x)在区间A上的函数值都在函数y＝g(x)在区间B上的值域

之中．

1

2

2aa2x

例1已知幂函数f(x)＝(a－3)x2＋－在(0，＋∞)上单调递减，函数h(x)＝3＋m，对任意x1

∈[1，3]，总存在x∈[1，2]，使得f(x)＝h(x)，则m的取值范围为________．

212

26

－8，－

答案9

1

2

2aa22

解析∵f(x)＝(a－3)x2＋－是幂函数，∴a－3＝1，即a＝±2，又f(x)在(0，＋∞)上单调递

1

1－1，1

22

减，则a＋a－20，可得a＝－2，∴f(x)＝x＝，∴f(x)在[1，3]上的值域为9.又h(x)

2x2

9＋m≥1，

26

在[1，2]上的值域为[3＋m，9＋m]，根据题意得1解得－8≤m≤－，∴m的取

3＋m≤，9

9

26

－8，－

值范围为9.

理解全称量词与存在量词的含义是求解本题的关键，此类问题求解的策略是等

价转化为求值域，即函数f(x)在区间A上的值域是g(x)在区间B上的值域的子集，若改为∃x1

∈A，∀x∈B，使得f(x)＝g(x)，则函数g(x)在区间B上的值域是f(x)在区间A上的值域的子

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集．

4x