高考解答题专项突破（一） 第2课时 利用导数证明不等式--2025年高考数学复习讲义及练习解析.pdf

2025年高考数学复习讲义及练习解析

第2课时利用导数证明不等式

考点一直接构造函数证明不等式

x

例1(2023·新课标Ⅰ卷)已知函数f(x)＝a(e＋a)－x.

(1)讨论f(x)的单调性；

3

(2)证明：当a0时，f(x)2lna＋.

2

x

解(1)因为f(x)＝a(e＋a)－x，定义域为R，

x

所以f′(x)＝ae－1，

xx

当a≤0时，由于e0，则ae≤0，

x

故f′(x)＝ae－10恒成立，

所以f(x)在R上单调递减；

x

当a0时，令f′(x)＝ae－1＝0，

解得x＝－lna，

当x－lna时，f′(x)0，

则f(x)在(－∞，－lna)上单调递减，

当x－lna时，f′(x)0，

则f(x)在(－lna，＋∞)上单调递增．

综上，当a≤0时，f(x)在R上单调递减；

当a0时，f(x)在(－∞，－lna)上单调递减，在(－lna，＋∞)上单调递增．

(2)证法一：由(1)得，

－lna2

f(x)＝f(－lna)＝a(e＋a)＋lna＝1＋a＋lna，

min

33

2

要证f(x)2lna＋，即证1＋a＋lna2lna＋，

22

1

2

即证a－－lna0恒成立，

2

1

2

令g(a)＝a－－lna(a0)，

2

2

12a－1

则g′(a)＝2a－＝，

aa

2

令g′(a)0，则0a，

2

2

令g′(a)0，则a，

2

22

0，，＋∞

所以g(a)在2上单调递减，在2上单调递增，

1

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222

12

所以g(a)＝g2＝2－－ln＝ln20，

min

22

则g(a)0恒成立，

3

所以当a0时，f(x)2lna＋恒成立，证毕．

2

xx

证法二：令h(x)＝e－x－1，则h′(x)＝e－1，

当x0时，h′(x)0，当x0时，h′(x)0，

所以h(x)在(－∞，0