高考解答题专项突破（四） 立体几何中的翻折问题与探索性问题--2025年高考数学复习讲义及练习解析.pdf

2025年高考数学复习讲义及练习解析

[考情分析]在高考立体几何的解答题中，常常出现翻折问题与探索性问题，此类问题要求

学生要有较强的空间想象能力和准确的计算能力．翻折问题是空间几何与平面几何转化的集

中体现，处理这类题的关键是抓住两图的特征关系；探索性问题常常是在条件不完备的情况

下探讨某些结论是否成立，处理这类问题一般可用综合推理的方法、分析法、特殊化法和向

量法来解决．预计2025年高考可能会考查以下几点：(1)证明平行(垂直)关系、空间角的计算

与翻折问题结合；(2)证明平行(垂直)关系、空间角的计算与探索性问题结合；(3)翻折问题与

探索性问题的综合．

考点一立体几何中的翻折问题

例1(2024·山东泰安模拟)如图1，四边形ABCD为矩形，BC＝2AB，E为AD的中点，将

△ABE，△DCE分别沿BE，CE折起，使得平面ABE⊥平面BCE，平面DCE⊥平面BCE，如

图2所示．

(1)求证：AD∥平面BCE；

(2)若F为线段BC的中点，求直线FA与平面ADE所成角的正弦值．

解(1)证明：在题图2中，分别取BE，CE的中点M，N，连接AM，DN，MN，

由题图1知，BC＝2AB，且E为AD的中点，则AE＝AB，

所以AM⊥BE，

又因为平面ABE⊥平面BCE，平面ABE∩平面BCE＝BE，AM⊂平面ABE，

所以AM⊥平面BCE，

同理可得，DN⊥平面BCE，

所以AM∥DN.

又因为AM＝DN，

所以四边形AMND为平行四边形，

所以AD∥MN，

又AD⊄平面BCE，MN⊂平面BCE，

所以AD∥平面BCE.

(2)在题图1中，因为∠AEB＝45°，∠DEC＝45°，

所以BE⊥CE.

以E为原点，EB，EC所在直线分别为x轴、y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

1

2025年高考数学复习讲义及练习解析

222222

，0，0，，，，0

设AB＝1，则E(0，0，0)，A22，D22，F22，

2222

→，0，→0，，

EAED

所以＝22，＝22，

设平面ADE的法向量为n＝(x，y，z)，

→

n·EA＝0，x＋z＝0，

由得取z＝1，得n＝(－1，－1，1)，

→y＋z＝0，

n·ED＝0，

22

→0，－，

又FA＝22，

设直线FA与平面ADE所成的角为θ，

→

|FA·n|26

则sinθ＝＝＝，

→1×33

|FA||n|

6

所以直线FA与平面ADE所成角的正弦值为.

3

翻折问题的解题关键点

1.(2024·湖北宜昌模拟)如图1，在梯形ABCD中，AB∥DC，AD＝BC＝DC＝2，

AB＝4，E为AB的中点，以DE为折痕把△ADE折起，连接AB，AC，得到如图2的几何体，

2

2025年高考数学复习讲义及练习解析

在图2的几何体中解答下列两个问题．

(1)证明：AC⊥DE；

(2)请从以下两个条件中选择一个作为已知条件，求二面角D－AE－C的余弦值．

①四棱锥A－BCDE的体积为2；