2024-2025年北师大版数学选择性必修第一册6.3.2离散型随机变量的方差(带答案).docx

3．2离散型随机变量的方差

必备知识基础练

知识点一离散型随机变量的方差与标准差

1.甲、乙两人通过雅思考试的概率分别为0.5，0.8，两人考试时相互独立互不影响，记X表示两人中通过雅思考试的人数，则X的方差为()

A．0.41B．0.42

C．0.45D．0.46

2．已知随机变量X的分布列如下，则X的标准差为()

X

1

3

5

P

0.4

0.1

m

A.0.95B．eq\r(3.2)

C．0.7D．eq\r(3.56)

3．有10张卡片，其中8张标有数字2，2张标有数字5，从中随机地抽取3张卡片，设3张卡片上的数字之和为X.求X的分布列及方差DX.

知识点二离散型随机变量方差的性质

4.下面说法中正确的是()

A．离散型随机变量X的数学期望EX反映了X取值的概率的平均值

B．离散型随机变量X的方差DX反映了X取值相对于均值的离散程度

C．离散型随机变量X的数学期望EX反映了X取值的大小规律

D．离散型随机变量X的方差DX反映了X取值的概率的平均值

5．已知随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝eq\f(1,3)，k＝1，2，3，则D(3ξ＋5)＝()

A．6B．9C．3D．4

知识点三方差的实际应用

6.投资A，B两种股票，每股收益的分布列分别如下所示．

股票A收益的分布列

收益X/元

－1

0

2

P

0.1

0.3

0.6

股票B收益的分布列

收益Y/元

0

1

2

P

0.3

0.4

0.3

(1)投资哪种股票的期望收益较大？

(2)投资哪种股票的风险较高？

关键能力综合练

一、选择题

1．已知随机变量ξ的分布列为

ξ

1

2

3

4

P

eq\f(1,4)

eq\f(1,3)

eq\f(1,6)

eq\f(1,4)

则Dξ＝()

A．eq\f(29,12)B．eq\f(121,144)C．eq\f(179,144)D．eq\f(17,12)

2．若随机变量X的分布列如表所示，且EX＝6.3，则DX＝()

X

4

a

9

P

0.5

0.1

b

A.－14.39B．7

C．5.61D．6.61

3．已知X是离散型随机变量，P(X＝x1)＝eq\f(2,3)，P(X＝x2)＝eq\f(1,3)，且x1＜x2，若EX＝eq\f(4,3)，DX＝eq\f(2,9)，则x1＋x2＝()

A．eq\f(5,3)B．eq\f(7,3)C．3D．eq\f(11,3)

4．一个袋中放有大小、形状均相同的小球，其中红球1个、黑球2个，现随机取出小球，当有放回地依次取出2个小球时，记取出的红球数为ξ1；当无放回地依次取出2个小球时，记取出的红球数为ξ2，则()

A．Eξ1＜Eξ2，Dξ1＜Dξ2

B．Eξ1＝Eξ2，Dξ1＞Dξ2

C．Eξ1＝Eξ2，Dξ1＜Dξ2

D．Eξ1＞Eξ2，Dξ1＞Dξ2

5．[多选题]离散型随机变量X的分布列如下表，若离散型随机变量Y满足Y＝2X＋1，则下列结果正确的有()

X

0

1

2

3

4

P

q

0.4

0.1

0.2

0.2

A.q＝0.1

B.EX＝2，DX＝1.4

C.EX＝2，DX＝1.8

D.EY＝5，DY＝7.2

二、填空题

6．[双空题]已知离散型随机变量X的分布列如下表，若EX＝0，DX＝1，则a＝________，b＝________．

X

－1

0

1

2

P

a

b

c

eq\f(1,12)

7.[易错题]某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历．假定该毕业生得到甲公司面试机会的概率为eq\f(2,3)，得到乙、丙两个公司面试机会的概率均为p，且三个公司是否让其面试是相互独立的．设X为该毕业生得到面试机会的公司个数．若P(X＝0)＝eq\f(1,12)，则DX＝________．

8．已知A，B两个不透明盒中各有形状、大小都相同的红球、白球若干个．A盒中有m个红球与(10－m)个白球，B盒中有(10－m)个红球与m个白球(0＜m＜10)，若从A，B盒中各取一个球，ξ表示所取的2个球中红球的个数，则当Dξ取到最大值时，m＝________．

三、解答题

9．在一个盒子中，放有标号分别为1，2，3的三张卡片，现从这个盒子中，有放回地随机抽取两张，记第一次抽取卡片的标号为x，第二次抽取卡片的标号为y.设O为坐标原点，点P的坐标为(x－2，x－y)，记ξ＝|eq\o(OP,\s\up6(→))|2.

(1)求随机变量ξ的最大值，并求事件“ξ取得最大值”的概率；

(2)求随机变