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第3讲函数的奇偶性、周期性与对称性

课标要求

命题点

五年考情

命题分析预测

1.了解奇偶性的概念和几何意义.

2.了解周期性的概念和几何意义.

函数的奇偶性

2023新高考卷ⅠT11；2023新高考卷ⅡT4；2023全国卷乙T4；2023全国卷甲T13；2022新高考卷ⅠT12；2022全国卷乙T16；2021全国卷乙T4；2021全国卷甲T12；2021新高考卷ⅠT13；2021新高考卷ⅡT8；2021新高考卷ⅡT14；2020全国卷ⅡT9；2020新高考卷ⅠT8；2019全国卷ⅡT14；2019全国卷ⅢT11

本讲为高考命题重点，命题热点有函数奇偶性的判断，利用函数的奇偶性求解析式、求函数值、解不等式等，函数周期性的判断及应用.题型以选择题、填空题为主，函数性质综合命题时难度中等偏大.预计2025年高考命题稳定，备考时注重常规题型训练的同时，关注命题角度创新试题及抽象函数性质的灵活运用.

函数的周期性

2022新高考卷ⅠT12；2022新高考卷ⅡT8；2022全国卷乙T12

函数图象的对称性

2022全国卷乙T12

函数性质的综合应用

2022新高考卷ⅠT12；2022全国卷乙T12；2021新高考卷ⅡT8；2021全国卷甲T12；2020新高考卷ⅠT8；2019全国卷ⅢT11

学生用书P024

1.函数的奇偶性

奇偶性

定义

图象特征

特性

单调性

奇函数

一般地，设函数f（x）的定义域为D，如果?x∈D，都有－x

∈D，且①f（－x）＝－f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数.

关于②原点对称.

（1）如果定义域中包含0，那么f（0）＝③0.

（2）若函数在关于原点对称的区间上有最值，则f（x）max＋

f（x）min＝④0.

在关于原点对称的区间上单调性⑤相同.

偶函数

一般地，设函数f（x）的定义域为D，如果?x∈D，都有－x

∈D，且⑥f（－x）＝f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数.

关于⑦y轴对称.

f（x）＝f（｜x｜）.

在关于原点对称的区间上单调性⑧相反.

注意（1）只有函数在x＝0处有定义时，f（0）＝0才是f（x）为奇函数的必要不充分条件；

（2）既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f（x）＝0，x∈D，其中定义域D是关于原点对称的非空数集.

规律总结

1.常见的奇（偶）函数

（1）函数f（x）＝ax＋a－x为偶函数，函数g（x）＝ax－a－x为奇函数；

（2）函数f（x）＝ax－a－xax＋a－x＝

（3）函数f（x）＝loga（x＋x2+1）为奇函数，函数g（x）＝loga（x2+1

2.函数奇偶性的拓展结论

（1）若函数y＝f（x＋a）是偶函数，则f（x＋a）＝f（－x＋a），函数y＝f（x）的图象关于直线x＝a对称.

（2）若函数y＝f（x＋b）是奇函数，则f（x＋b）＋f（－x＋b）＝0，函数y＝f（x）的图象关于点（b，0）中心对称.

2.函数的周期性

（1）周期函数

一般地，设函数f（x）的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且⑨f（x＋T）＝f（x），那么函数f（x）就叫做周期函数.非零常数T叫做这个函数的周期.

（2）最小正周期

如果在周期函数f（x）的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做

f（x）的⑩最小正周期.

注意并不是所有的周期函数都有最小正周期，如f（x）＝5.

常用结论

函数周期性的常用结论

设函数y＝f（x），x∈R，a＞0，a≠b.

（1）若f（x＋a）＝－f（x），则2a是函数f（x）的周期；

（2）若f（x＋a）＝±1f（x），则2a是函数

（3）若f（x＋a）＝f（x＋b），则｜a－b｜是函数f（x）的周期.

3.函数图象的对称性

已知函数f（x）是定义在R上的函数，

（1）若f（a＋x）＝f（b－x）恒成立，则y＝f（x）的图象关于直线?x＝a＋b2

（2）若f（a＋x）＋f（b－x）＝c，则y＝f（x）的图象关于点?（a＋b2，c

注意（1）奇、偶函数的图象平移之后对应的函数不一定有奇偶性，但其图象一定有对称性.（2）注意区分抽象函数的周期性与对称性的表示，周期性的表示中，括号内x的符号相同，对称性的表示中，括号内x的符号相反.

常用结论

函数f（x）图象的对称性与周期的关系

（1）若函数f（x）的图象关于直线x＝a与直线x＝b对称，则函数f（x）的周期为2｜b－a｜；

（2）若函数f（x）的图象既关于点（a，0）对称，又关于点（b，0）对称，则函数f（x）的周期为2｜b－a｜；

（3）若函数f（x）的图象既关于直线x＝a对称，又关于点（b，0）对称，则函数f（x）的周期为4｜b－a｜.

1.已知函数f（x）为奇函数，当x＞0时，f（x