2024年中考数学一轮复习考点帮（上海专用）专题11 勾股定理及其逆定理（讲义）（解析版） .pdf

专题11勾股定理及其逆定理核心知识点精讲

复嘉总I」

1.了解勾股定理的历史，掌握勾股定理的证明方法；

2.理解并掌握勾股定理及逆定理的内容；

3.能应用勾股定理及逆定理解决有关的实际问；

4.加强知识间的内在联系，用方程思想解决几何问.以体现代数与几何之间的内在联系.

【知识网络】

考点一、勾股定理

1.勾股定理：

直角三角形两直角边。、Z?的平方和等于斜边c的平方.（即：/+）2=^2）

【要点诠释】勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理.我国古代把直角三角形中较短的直角

边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦.早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，

弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于

斜边的平方.

2.勾股定理的证明：

勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法.

用拼图的方法验证勾股定理的思路是：

①图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变；

②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理.

3.勾股定理的应用

勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用是：

①已知直角三角形的任意两边长，求第三边，在AABC中，ZC=90°,则厂拘之+尸,人=必-*,

a—\lc2—b2；

②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系；

③可运用勾股定理解决一些实际问.

考点二、勾股定理的逆定理

1.原命与逆命

如果一个命的设和结论分别是另一个命的结论和设，这样的两个命叫做互逆命.如果把其

中一个叫做原命，那么另一个叫做它的逆命.

2.勾股定理的逆定理

勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长。、b、C,满足〃+方2=。2,那么这个三角形是直角三角形.

【要点诠释】

①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定

三角形的可能形状；

②定理中b,C及a2+b2=c2是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长1,b,。满

足a2+c2=b2,那么以b,。为三边的三角形是直角三角形，但是Z?为斜边；

③勾股定理的逆定理在用问描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形

是直角三角形.

3.勾股数

①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即a2+b2=c2中，a,b,。为正整数时，称〃，

b,c为一组勾股数；

②记住常见的勾股数可以提高解速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等；

③用含字母的代数式表示〃组勾股数：

〃2一1,2七疽+1（n2,〃为正整数）；

2〃+1,2疽+2〃,2疽+2〃+1（〃为正整数）

m2-n2,2mn,m2+h2（mn,m,〃为正整数）.

考点三、勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系

区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；

联系：勾股定理与其逆定理的设和结论正好相反，两者互为逆定理，都与直角三角形有关.

V典例引轲

【型1:勾股定理在图形翻折中的应用】

【典例1】如图，将长方形纸片ABCD折叠，使边落在对角线AC上，折痕为C,且。点落在对角线

上ZT处，若AB=6,AD=8,则Q的长为（）

43、

A.—B.3C.1D.—【答案】B

32

【分析】本考查矩形的折叠，勾股定理，熟练掌握运用勾股定理解决长方形的折叠是解的关键.首先

利用勾股定理计算出AC的长，再根据折叠可得DEC#DEC,设=贝。

DE=x,=CD=4,A=8-x,再根据勾股定理可得方程42+x2=（8-x）2,再解方程即可.

【详解】AB=6,AD=8,

•■-DC—6,

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