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3.4函数的应用（一）

知识点一一次函数模型

【例1】（22-23高一上·全国·课后作业）在实施“城乡危旧房改造工程”中，河西区计划推出A，B两种新户型．根据预算，建成10套A种户型和30套B种户型住房共需资金480万元，建成30套A种户型和10套B种户型住房共需资金400万元．

(1)在危旧房改造中建成一套A种户型和一套B种户型住房所需资金分别是多少万元？

(2)河西区有800套住房需要改造，改造资金由国家危旧房补贴和地方财政共同承担，若国家补贴拨付的改造资金不少于2100万元，河西区财政投入额资金不超过7700万元，其中国家财政投入到A，B两种户型的改造资金分别为每套2万元和3万元；

①请你计算求出A种户型至少可以建多少套？最多可以建多少套？

②设这项改造工程总投入资金W万元，建成A种户型m套，写出W与m的关系式，并求出最少总投入．

【变式】

1．（2024江苏南通·期中）党的十九大报告明确要求继续深化国有企业改革，培育具有全球竞争力的世界一流企业.某企业抓住机遇推进生产改革，从单一产品转为生产A、B两种产品，根据市场调查与市场预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图①；B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图②（注：所示图中的横坐标表示投资金额，单位为万元）.

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(1)分别求出A、B两种产品的利润表示为投资的函数关系式；

(2)该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A、B两种产品的生产，问：怎样分配这10万元资金，才能使企业获得最大利润，最大利润是多少？

2．（23-24高一上·云南保山·开学考试）为落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某市政部门招标一工程队负责在山脚下修建一座水库的土方施工任务.该工程队有两种型号的挖掘机，已知3台型和5台型挖掘机同时施工一小时挖土165立方米；4台型和7台型挖掘机同时施工一小时挖土225立方米.每台型挖掘机一小时的施工费用为300元，每台型挖掘机一小时的施工费用为180元.

(1)分别求每台型，型挖掘机一小时挖土多少立方米？

(2)若不同数量的型和型挖掘机共12台同时施工4小时，至少完成1080立方米的挖土量，且总费用不超过12960元.问施工时有哪几种调配方案，并指出哪种调配方案的施工费用最低，最低费用是多少元？

知识点二一元二次函数模型

【例2】（23-24高一上·湖南衡阳·阶段练习）某工厂2022年年初用100万元购进一台新的设备，并立即投入使用，该设备使用后，每年的总收入预计为50万元.设使用x年后该设备的维修、保养费用为万元，盈利总额为y万元.

(1)写出y与x之间的函数关系式；

(2)从第几年开始，使用该设备开始盈利?

【变式】

1．（23-24高一上·上海闵行·期中）某园林建设公司计划购买一批机器投入施工．据分析，这批机器可获得的利润（单位：万元）与运转时间（单位：年）的函数解析式为（，且）．

(1)当这批机器运转第几年时，可获得最大利润？最大利润为多少？

(2)当运转多少年时，这批机器的年平均利润最大？

2．（2023高一·全国·专题练习）如图，某中学准备在校园里利用院墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园，已知院墙长为25米，篱笆长50米（篱笆全部用完），设篱笆的一面的长为米．

(1)当的长为多少米时，矩形花园的面积为300平方米？

(2)若围成的矩形的面积为S平方米，当x为何值时，S有最大值，最大值是多少？

知识点三分段函数模型

【例3】（23-24高一上·江西上饶·期末）随着我国经济发展、医疗消费需求增长、人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等因素的影响，医疗器械市场近年来一直保持了持续增长的趋势.上饶市医疗器械公司为了进一步增加市场竞争力，计划改进技术生产某产品.已知生产该产品的年固定成本为400万元，最大产能为100台.每生产台，需另投入成本万元，且，由市场调研知，该产品每台的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完.

(1)写出年利润万元关于年产量台的函数解析式（利润=销售收入-成本）；

(2)当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大?最大利润是多少?

【变式】

1．（23-24高一上·江苏宿迁·期中）新能源汽车是低碳生活的必然选择和汽车产业的发展趋势.某汽车企业为了响应国家号召，2020年积极引进新能源汽车生产设备，通过分析，全年需要投入固定成本万元.每生产（百辆）新能源汽车，需另投入成本万元，且，由市场调研知，每辆车售价万元，且生产的车辆当年能全部销售完.

(1)求出年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式；（利润销售量售价成本）

(2)年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润.

2．（2024·全国·高一课时练习）2022年第24届北京冬