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数学教案－一元二次方程实数根错例剖析课

课题：一元二次方程实数根错例剖析课

【教学目的】精选学生在解一元二次方程有关问题时消失的典型错例加以剖析，帮忙学生找出产生错误的缘由和订正错误的方法，使学生在解题时少犯错误，从而培育学生思维的批判性和深刻性。

【课前练习】

1、关于x的方程ax2+bx+c=0，当a_____时，方程为一元一次方程；当a_____时，方程为一元二次方程。

2、一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=_______，当△_______时，方程有两个相等的实数根，当△_______时，方程有两个不相等的实数根，当△________时，方程没有实数根。

【典型例题】

例1以下方程中两实数根之和为2的方程是（）

(A)x2+2x+3＝0(B)x2-2x+3＝0(c)x2-2x-3＝0(D)x2+2x+3＝0

错答：B

正解：C

错因剖析：由根与系数的关系得x1+x2＝2，极易误选B，又考虑到方程有实数根，故由△可知，方程B无实数根，方程C适宜。

例2若关于x的方程x2+2(k+2)x+k2＝0两个实数根之和大于-4，则k的取值范围是（）

(A)k＞-1(B)k＜0(c)-1＜k＜0(D)-1≤k＜0

错解：B

正解：D

错因剖析：漏掉了方程有实数根的前提是△≥0

例3（2023广西中考题）已知关于x的一元二次方程(1-2k)x2-2x-1＝0有两个不相等的实根，求k的取值范围。

错解:由△＝(-2)2-4(1-2k)(-1)＝-4k+8＞0得k＜2又∵k+1≥0∴k≥-1。即k的取值范

围是-1≤k＜2

错因剖析：漏掉了二次项系数1-2k≠0这个前提。事实上，当1-2k＝0即k＝时，原方程变为一次方程，不行能有两个实根。

正解：-1≤k＜2且k≠

例4（2023山东太原中考题）已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2+(2m+1)x+m2+1＝0的两个实数根，当x12+x22=15时，求m的值。

错解：由根与系数的关系得

x1+x2＝-（2m+1）,x1x2＝m2+1,

∵x12+x22＝(x1+x2)2-2x1x2

＝[-（2m+1）]2-2（m2+1）

＝2m2+4m-1

又∵x12+x22=15

∴2m2+4m-1=15

∴m1＝-4m2＝2

错因剖析：漏掉了一元二次方程有两个实根的前提条件是判别式△≥0。由于当m＝-4时，方程为x2-7x+17＝0，此时△＝（-7）2-4171＝-19＜0，方程无实数根，不符合题意。

正解：m＝2

例5若关于x的方程(m2-1)x2-2(m+2)x+1＝0有实数根，求m的取值范围。

错解：△＝[-2(m+2)]2-4(m2-1)＝16m+20

∵△≥0

∴16m+20≥0，

∴m≥-5/4

又∵m2-1≠0，

∴m≠1

∴m的取值范围是m≠1且m≥-

错因剖析：此题只说(m2-1)x2-2(m+2)x+1＝0是关于未知数x的方程，而未限定方程的次数，所以在解题时就必需考虑m2-1＝0和m2-1≠0两种状况。当m2-1＝0时，即m＝1时，方程变为一元一次方程，仍有实数根。

正解：m的取值范围是m≥-

例6已知二次方程x2+3x+a＝0有整数根，a是非负数，求方程的整数根。

错解：∵方程有整数根，

∴△＝9-4a＞0，则a＜2.25

又∵a是非负数，∴a＝1或a＝2

令a＝1，则x＝-3，舍去；令a＝2，则x1＝-1、x2＝-2

∴方程的整数根是x1＝-1，x2＝-2

错因剖析：概念模糊。非负整数应包括零和正整数。上面答案仅是一局部，当a＝0时，还可以求出方程的另两个整数根，x3＝0，x4＝-3

正解：方程的整数根是x1＝-1，x2＝-2，x3＝0，x4＝-3

【练习】

练习1、（01济南中考题）