新高考数学一轮复习讲与练第21讲 空间向量在立体几何中的应用（讲）（原卷版）.doc

第04讲空间向量在立体几何中的应用

本讲为高考命题热点，理科中考察空间向量，文科中不做涉及，通常在6分分值，难度不大.

考点一异面直线所成的角

设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则

a与b的夹角β

l1与l2所成的角θ

范围

(0，π)

eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))

求法

cosβ＝eq\f(a·b,|a||b|)

cosθ＝|cosβ|＝eq\f(|a·b|,|a||b|)

考点二求直线与平面所成的角

设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为θ，则sinθ＝|cos〈a，n〉|＝eq\f(|a·n|,|a||n|).

考点三求二面角

(1)如图①，AB，CD是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝__〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))〉.

(2)如图②③，n1，n2分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足|cosθ|＝|cos〈n1，n2〉|，二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角(或其补角).

考点四常用结论

1.线面角θ的正弦值等于直线的方向向量a与平面的法向量n所成角的余弦值的绝对值，即sinθ＝|cos〈a，n〉|，不要误记为cosθ＝|cos〈a，n〉|.

2.二面角与法向量的夹角：利用平面的法向量求二面角的大小时，当求出两半平面α，β的法向量n1，n2时，要根据向量坐标在图形中观察法向量的方向，来确定二面角与向量n1，n2的夹角是相等，还是互补.

高频考点一用向量求异面直线所成的角

【例1】1.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝eq\r(2)，BC＝2，点D为BC的中点，则异面直线AD与A1C所成的角为()

A.eq\f(π,2) B.eq\f(π,3)

C.eq\f(π,4) D.eq\f(π,6)

2.在四面体ABCD中，BD⊥AD，CD⊥AD，BD⊥BC，BD＝AD＝1，BC＝2，则异面直线AB与CD所成角的余弦值为()

A.eq\f(\r(10),5) B.eq\f(3\r(10),10)

C.eq\f(\r(15),5) D.eq\f(\r(10),10)

3.如图所示，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱CC1的中点，eq\o(AF,\s\up6(→))＝λeq\o(AD,\s\up6(→))，若异面直线D1E和A1F所成角的余弦值为eq\f(3\r(2),10)，则λ的值为________.

【方法技巧】

1.利用向量法求异面直线所成角的一般步骤是：(1)选好基底或建立空间直角坐标系；(2)求出两直线的方向向量v1，v2；(3)代入公式|cos〈v1，v2〉|＝eq\f(|v1·v2|,|v1||v2|)求解.

2.两异面直线所成角的范围是θ∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，两向量的夹角α的范围是[0，π]，当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是该异面直线的夹角；当异面直线的方向向量的夹角为钝角时，其补角才是异面直线的夹角.

高频考点二用空间向量求线面角

【例2】(2020·新高考山东卷)如图，四棱锥P－ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD.设平面PAD与平面PBC的交线为l.

(1)证明：l⊥平面PDC；

(2)已知PD＝AD＝1，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值.

【方法技巧】

向量法求直线与平面所成角主要方法是：

1.分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，将题目转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；

2.通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角或钝角的补角，取其余角就是斜线和平面所成的角.

【跟踪训练】

1.(2022·全国百校联考)如图所示，在三棱锥S－BCD中，平面SBD⊥平面BCD，A是线段SD上的点，△SBD为等边三角形，∠BCD＝30°，CD＝2DB＝4.

(1)若SA＝AD，求证：SD⊥CA；

(2)若直线BA与平面SCD所成角的正弦值为eq\f(4\r(195),65)，求AD的长.

高频考点三用向量求二面角

【例3】(2020·全国Ⅰ卷)如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，AE为底面直径，AE＝AD.△ABC是底面的内接正三角形，P为DO上一点，PO＝eq\f(\r(6),6)DO.

(1)证明：PA⊥平面PBC；

(2)求二面角B－PC－E的余弦值.

【方法技巧】

1.用法向量求二面角：分别求出