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第07讲函数的定义域与值域
【基础知识全通关】
1.函数的定义域、值域
(1)在函数y=f(x),x∈A中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.
(2)如果两个函数的定义域相同,并且对应关系完全一致,则这两个函数为相等函数.
2.已知函数的具体解析式求定义域的方法
(1)若f(x)是由一些基本初等函数通过四则运算构成的,则它的定义域为各基本初等函数的定义域的交集.
(2)复合函数的定义域:先由外层函数的定义域确定内层函数的值域,从而确定对应的内层函数自变量的取值范围,还需要确定内层函数的定义域,两者取交集即可.
3.函数解析式的常见求法
(1)配凑法:已知f(h(x))=g(x),求f(x)的问题,往往把右边的g(x)整理或配凑成只含h(x)的式子,然后用x将h(x)代换.
(2)待定系数法:已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法,比如二次函数f(x)可设为f(x)=ax2+bx+c(a≠0),其中a,b,c是待定系数,根据题设条件,列出方程组,解出a,b,c即可.
(3)换元法:已知f(h(x))=g(x),求f(x)时,往往可设h(x)=t,从中解出x,代入g(x)进行换元.应用换元法时要注意新元的取值范围.
(4)解方程组法:已知f(x)满足某个等式,这个等式除f(x)是未知量外,还有其他未知量,如feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))(或f(-x))等,可根据已知等式再构造其他等式组成方程组,通过解方程组求出f(x).
3.分段函数
(1)求分段函数的函数值时,要先确定要求值的自变量属于哪一区间,然后代入该区间对应的解析式求值.
(2)当出现f(f(a))的形式时,应从内到外依次求值.
(3)当自变量的值所在区间不确定时,要分类讨论,分类标准应参照分段函数不同段的端点。
【考点研习一点通】
考点01函数的定义域
1.函数f(x)=ln(4x-x2)+eq\f(1,x-2)的定义域为()
A.(0,4) B.[0,2)∪(2,4]
C.(0,2)∪(2,4) D.(-∞,0)∪(4,+∞)
【答案】C
【解析】要使函数有意义,
则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4x-x20,,x-2≠0,))
解得0x4且x≠2.
2.函数y=eq\f(\r(-x2+2x+3),lg?x+1?)的定义域为()
A.(-1,3] B.(-1,0)∪(0,3]
C.[-1,3] D.[-1,0)∪(0,3]
【答案】B
【解析】要使函数有意义,x需满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(-x2+2x+3≥0,,x+10,,x+1≠1,))
解得-1x0或0x≤3,
所以函数的定义域为(-1,0)∪(0,3].
3.若函数f(x)的定义域为[0,8],则函数g(x)=eq\f(f?2x?,\r(8-2x))的定义域为________.
【答案】[0,3)
【解析】依题意有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤2x≤8,,8-2x0,))
解得0≤x3,
∴g(x)的定义域为[0,3).
思维升华(1)根据具体的函数解析式求定义域的策略
已知解析式的函数,其定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合,求解时只要根据函数解析式列出自变量满足的不等式(组),得出不等式(组)的解集即可.
(2)求抽象函数的定义域的策略
①若已知函数f(x)的定义域为[a,b],则复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出;
②若已知函数f(g(x))的定义域为[a,b],则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a,b]上的值域.
(3)求函数定义域应注意的问题
①不要对解析式进行化简变形,以免定义域发生变化;
②定义域是一个集合,要用集合或区间表示,若用区间表示数集,不能用“或”连接,而应该用并集符号“∪”连接.
4.函数的定义域是_____.
【答案】.
【解析】
由已知得,
即
解得,
故函数的定义域为.
5.(1)已知SKIPIF10的定义域为SKIPIF10,求函数SKIPIF10的定义域;
(2)已知SKIPIF10的定义域为SKIPIF10,求SKIPIF10的定义域;
(3)已知函数SKIPIF10的定义域为SKIPIF10,求函数SKIPIF10
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